Question

3．已知关于x的一元二次方程x²+（2m+1）x+m²-4=0
（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4m+17＞0，解之即可得出结论；
（2）设方程的两根分别为a、b，根据根与系数的关系结合菱形的性质，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据a+b=-2m-1＞0，即可确定m的值．

解答 解：（1）∵方程x²+（2m+1）x+m²-4=0有两个不相等的实数根，
∴△=（2m+1）²-4（m²-4）=4m+17＞0，
解得：m＞-$\frac{17}{4}$．
∴当m＞-$\frac{17}{4}$时，方程有两个不相等的实数根．
（2）设方程的两根分别为a、b，
根据题意得：a+b=-2m-1，ab=m²-4．
∵2a、2b为边长为5的菱形的两条对角线的长，
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=（-2m-1）²-2（m²-4）=2m²+4m+9=5²=25，
解得：m=-4或m=2．
∵a＞0，b＞0，
∴a+b=-2m-1＞0，
∴m=-4．
若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m的值为-4．

点评 本题考查了根的判别式、根与系数的关系、菱形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出△=4m+17＞0；（2）根据根与系数的关系结合菱形的性质，找出关于m的一元二次方程．