Question

如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，过直角顶点C作CA₁⊥AB，垂足为A₁，再过A₁作A₁C₁⊥BC，垂足为C₁，过C₁作C₁A₂⊥AB，垂足为A₂，再过A₂作A₂C₂⊥BC，垂足为C₂，…，这样一直作下去，得到了一组线段CA₁，A₁C₁，C₁A₂，A₂C₂，…，A_nC_n，则A₁C₁=________，A_nC_n=________．

Answer 1

    
分析：首先由Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，利用勾股定理即可求得AB的长，易证得△CA₁B∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得A₁C的值，同理可求得：A₁C₁，A₂C₁，A₂C₂的值，则可得规律：A_nC_n=6×（）²ⁿ．
解答：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB==10，
∵CA₁⊥AB，
∴∠CA₁B=∠ACB=90°，
∵∠B是公共角，
∴△CA₁B∽△ACB，
∴，
即，
即A₁C=AC=6×，
同理可得：A₁C₁=A₁C=6×（）²=6×（）^2×1，
A₂C₁=A₁C₁=6×（）³，
A₂C₂=A₂C₁=6×（）⁴=6×（）^2×2，
可得规律为：A_nC_n=6×（）²ⁿ．
故答案为：6×（）²，6×（）²ⁿ．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理．此题属于规律性题目，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．