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【题目】如图1,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,把矩形沿直线AC折叠,使点B落在点E处,AE交CD于点F,连接DE.

(1)求证:DEC≌△EDA;

(2)求DF的值;

(3)如图2,若P为线段EC上一动点,过点P作AEC的内接矩形,使其顶点Q落在线段AE上,定点M、N落在线段AC上,当线段PE的长为何值时,矩形PQMN的面积最大?并求出其最大值.

【答案】(1)证明见解析;(2).(3)PE=时,矩形PQMN的面积最大,最大面积为3.

【解析】

试题分析:(1)由矩形和翻折的性质可知AD=CE,DC=EA,根据SSS可求得DEC≌△EDA;

(2)根据勾股定理即可求得.

(3)由矩形PQMN的性质得PQCA,所以,从而求得PQ,由PNEG,得出,求得PN,然后根据矩形的面积公式求得解析式,即可求得.

试题解析:(1)由矩形和翻折的性质可知:AD=CE,DC=EA,

ADE与CED中,

∴△DEC≌△EDA(SSS);

(2)如图1,

∵∠ACD=BAC,BAC=CAE,

∴∠ACD=CAE,

AF=CF,

设DF=x,则AF=CF=4-x,

在RtADF中,AD2+DF2=AF2

即32+x2=(4-x)2

解得:x=

即DF=

(3)如图2,

由矩形PQMN的性质得PQCA

CE=3,AC==5

设PE=x(0<x<3),则,即PQ=x

过E作EGAC于G,则PNEG,

在RtAEC中,EGAC=AECE,解得EG=

=,即PN=(3-x),

设矩形PQMN的面积为S,

则S=PQPN=-x2+4x=-x-2+3(0<x<3)

所以当x=,即PE=时,矩形PQMN的面积最大,最大面积为3.

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