【题目】如图1,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,把矩形沿直线AC折叠,使点B落在点E处,AE交CD于点F,连接DE.
(1)求证:△DEC≌△EDA;
(2)求DF的值;
(3)如图2,若P为线段EC上一动点,过点P作△AEC的内接矩形,使其顶点Q落在线段AE上,定点M、N落在线段AC上,当线段PE的长为何值时,矩形PQMN的面积最大?并求出其最大值.
【答案】(1)证明见解析;(2).(3)PE=时,矩形PQMN的面积最大,最大面积为3.
【解析】
试题分析:(1)由矩形和翻折的性质可知AD=CE,DC=EA,根据“SSS”可求得△DEC≌△EDA;
(2)根据勾股定理即可求得.
(3)由矩形PQMN的性质得PQ∥CA,所以,从而求得PQ,由PN∥EG,得出,求得PN,然后根据矩形的面积公式求得解析式,即可求得.
试题解析:(1)由矩形和翻折的性质可知:AD=CE,DC=EA,
在△ADE与△CED中,
∴△DEC≌△EDA(SSS);
(2)如图1,
∵∠ACD=∠BAC,∠BAC=∠CAE,
∴∠ACD=∠CAE,
∴AF=CF,
设DF=x,则AF=CF=4-x,
在Rt△ADF中,AD2+DF2=AF2,
即32+x2=(4-x)2,
解得:x=,
即DF=.
(3)如图2,
由矩形PQMN的性质得PQ∥CA
∴
又∵CE=3,AC==5
设PE=x(0<x<3),则,即PQ=x
过E作EG⊥AC于G,则PN∥EG,
∴
又∵在Rt△AEC中,EGAC=AECE,解得EG=,
∴=,即PN=(3-x),
设矩形PQMN的面积为S,
则S=PQPN=-x2+4x=-(x-)2+3(0<x<3)
所以当x=,即PE=
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【题目】广佰文化商场同时卖出两台电子琴,每台均卖960元,以成本计算,其中一台盈利20%,另一台亏损20%,则本次出售中商场( )
A. 不赔不赚 B. 赚160元 C. 赚80元 D. 赔80元
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【题目】若△ABC≌△DEF,△ABC的周长为100cm,DE=30cm,DF=25cm,那么BC长( )
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B.45cm
C.30cm
D.25cm
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A. y1<y2<y3 B. y2<y3<y1 C. y3<y2<y1 D. y3<y1<y2
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