Question

【题目】如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连结CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，EF交BC于点G．

（1）求证：△CDE≌△CBF；
（2）当DE= 时，求CG的长；
（3）连结AG，在点E运动过程中，四边形CEAG能否为平行四边形？若能，求出此时DE的长；若不能，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图，在正方形ABCD中，DC=BC，∠D=∠ABC=∠DCB=90°，

∴∠CBF=180°﹣∠ABC=90°，∠1+∠2=∠DCB=90°，

∵CF⊥CE，

∴∠ECF=90°，

∴∠3+∠2=∠ECF=90°，

∴∠1=∠3，

在△CDE和△CBF中， ，

∴△CDE≌△CBF

（2）

解：在正方形ABCD中，AD∥BC，

∴△GBF∽△EAF，

∴ ，

由（1）知，△CDE≌△CBF，

∴BF=DE= ，

∵正方形的边长为1，

∴AF=AB+BF= ，AE=AD﹣DE= ，

∴ ，

∴BG= ，

∴CG=BC﹣BG=

（3）

解：不能，

理由：若四边形CEAG是平行四边形，则必须满足AE∥CG，AE=CG，

∴AD﹣AE=BC﹣CG，

∴DE=BG，

由（1）知，△CDE≌△ECF，

∴DE=BF，CE=CF，

∴△GBF和△ECF是等腰直角三角形，

∴∠GFB=45°，∠CFE=45°，

∴∠CFA=∠GFB+∠CFE=90°，

此时点F与点B重合，点D与点E重合，与题目条件不符，

∴点E在运动过程中，四边形CEAG不能是平行四边形．

【解析】（1）先判断出∠CBF=90°，进而判断出∠1=∠3，即可得出结论；（2）先求出AF，AE，再判断出△GBF∽△EAF，可求出BG，即可得出结论；（3）假设是平行四边形，先判断出DE=BG，进而判断出△GBF和△ECF是等腰直角三角形，即可得出∠GFB=∠CFE=45°，即可得出结论．
【考点精析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质和正方形的性质的相关知识点，需要掌握若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积；正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形才能正确解答此题．