Question

12．第1个等式：a₁=$\frac{1}{1×3}=\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{3}）$；第2个等式：a₂=$\frac{1}{3×5}=\frac{1}{2}×（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$；第3个等式：a₃=$\frac{1}{5×7}=\frac{1}{2}×（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$；第4个等式：a₄=$\frac{1}{7×9}=\frac{1}{2}×（\frac{1}{7}-\frac{1}{9}）$；…
解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式，a₅=$\frac{1}{9×11}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{11}$）；
（2）用含n的代数式第n个等式：a_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）（n为正整数）；
（3）求a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₂₀₁₄的值．

Answer 1

分析 （1）（2）观察知，找第一个等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为 序号的2倍减1和序号的2倍加1；
（3）求得每一个数据，运用得出的规律拆分计算即可．

解答 解：（1）第1个等式：a₁=$\frac{1}{1×3}=\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{3}）$；
第2个等式：a₂=$\frac{1}{3×5}=\frac{1}{2}×（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$；
第3个等式：a₃=$\frac{1}{5×7}=\frac{1}{2}×（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$；
第4个等式：a₄=$\frac{1}{7×9}=\frac{1}{2}×（\frac{1}{7}-\frac{1}{9}）$；
…
第5个等式，a₅=$\frac{1}{9×11}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{11}$）；
（2）第n个等式：a_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）（n为正整数）；
（3）a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₂₀₁₄
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{4027}$-$\frac{1}{4029}$）
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{4027}$-$\frac{1}{4029}$）
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{4029}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{4028}{4029}$
=$\frac{2014}{4029}$．

点评 此题考查寻找数字的规律及运用规律计算．寻找规律大致可分为2个步骤：不变的和变化的；变化的部分与序号的关系．