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【题目】如图,在平面直角坐标系中, 为坐标原点,直线 与直线 交于点 轴交于 ,与 轴交于点 .

(1)求 的面积;
(2)若点 在直线 上,且使得 的面积是 面积的 ,求点 的坐标.

【答案】
(1)解:由 得:

∴A(4,2)

在y=-x+6中,当x=0,y=6,则C(0,6),SOAC= ×6×4=12


(2)解:解:分两种情况:①如图所示,

当点M1在射线AC上时,过M1作M1D⊥CO于D,则△CDM1是等腰直角三角形,
∵A(4,2),C(0,6),
∴AC= =4
∵△OAM的面积是△OAC面积的
∴AM1= AC=3
∴CM1=
∴DM1= ,即点M1的横坐标为
在直线y=﹣x+6中,当x= 时,y=6﹣
∴M1 ,6﹣ );
②如图所示,当点M2在射线AB上时,过M2作M2E⊥CO于E,则△CEM2是等腰直角三角形,
由题可得,AM2=AM1=3
∴CM2=7
∴EM2= ,即点M2的横坐标为
在直线y=﹣x+6中,当x= 时,y=6﹣
∴M2( ,6﹣ ).
综上所述,点M的坐标为(,6﹣ )或( ,6﹣ ).


【解析】(1)先求出两直线的交点A的坐标,及直线BC与y轴的交点C的坐标,再根据三角形的面积公式,即可求出△OAC的面积。
(2)抓住已知条件中的关键词点M在直线l2上,因此分两种情况讨论:当点M1在射线AC上时,过M1作M1D⊥CO于D,则△CDM1是等腰直角三角形,易求出AC的长,再根据△OAM和△OAC的面积关系求出AM1,CM1的长,由△CDM1是等腰直角三角形,可得出DM1的长,然后结合函数解析式就可求出 点M1的坐标;当点M2在射线AB上时,过M2作M2E⊥CO于E,则△CEM2是等腰直角三角形,运用类似的方法求出点M2的坐标,即可得出结论。

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