Question

如图，正方形ABCD中，P在对角线BD上，E在CB的延长线上，且PE=PC，过点P作PF⊥AE于F，直线PF分别交AB、CD于G、H，
（1）求证：DH=AG+BE；
（2）若BE=1，AB=3，求PE的长．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：压轴题

分析：（1）在DC上截取DM=BE，连接AM，证△ABE≌△ADM，推出∠1=∠2，推出AM⊥AE，推出AM∥FH，AB∥CD，得出四边形AGHM是平行四边形，推出AG=MH即可；
（2）连接AP．根据四边形ABCD是正方形的性质得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，证△ABP≌△CBP，推出PA=PC，∠3=∠4，求出∠3=∠5，得出△APE是等腰直角三角形，求出AE，即可求出PE．

解答：（1）证明：在DC上截取DM=BE，连接AM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠ADM=90°，AB=AD，
∵在△ABE和△ADM中

AD=AB ∠ADM=∠ABE DM=BE

，
∴△ABE≌ADM，
∴∠1=∠2，
∴∠1+∠BAM=∠2+∠BAM=90°，即AM⊥AE．
又∵PF⊥AE于F，
∴AM∥FH，
又∵AB∥CD，
∴四边形AGHM是平行四边形，
∴AG=MH，
∵DH=DM+MH，
∴DH=AG+BE．
     
（2）解：连接AP．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，
∵在△ABP和△CBP中

AB=BC ∠ABP=∠CBP BP=BP

∴△ABP≌△CBP，
∴PA=PC，∠3=∠4，
∵PE=PC，
∴PA=PE，
∵PE=PC，
∴∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
又∵∠ANP=∠ENB，
∴∠3+∠ANP=∠5+∠ENB=90°，
∴AP⊥PE，即△APE是等腰直角三角形，
∵BE=1，AB=3，
∴AE=

12+32

=

10

，
∴PE=

AE

2

=

10

2

=

5

．

点评：本题考查了正方形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．