Question

5．已知点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC．
（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图①所示），若PA=2．PB=4，∠APB=135°，求PC的长．
（2）如图②，若PA²+PC²=2PB²，请说明点P必在对角线AC上．

Answer 1

分析 （1）连结PP′，如图1，根据旋转的性质得BP=BP′=4，CP′=AP=2，∠PBP′=90°，∠BP′C=∠BPA=135°，则可判断△BPP′为等腰直角三角形，得到∠BP′P=45°，PP′=$\sqrt{2}$PB=4$\sqrt{2}$，于是可计算出∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=90°，则可根据勾股定理计算出PC=6；
（2）把△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，如图2，由（1）得△BPP′为等腰直角三角形，CP′=AP，∠BAP=∠BCP′，则PP′=$\sqrt{2}$PB，加上PA²+PC²=2PB²，则CP′²+PC²=PP′²，根据勾股定理的逆定理可判断△PP′C为直角三角形，得到∠PCB+∠BCP′=90°，即∠PCB+∠BAP=90°，于是根据三角形内角和定理可计算出∠BPA+∠BPC=180°，所以点A、P、C共线．

解答 解：（1）连结PP′，如图1，
∵△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，
∴BP=BP′=4，CP′=AP=2，∠PBP′=90°，∠BP′C=∠BPA=135°，
∴△BPP′为等腰直角三角形，
∴∠BP′P=45°，PP′=$\sqrt{2}$PB=4$\sqrt{2}$，
∵∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=90°，
∴PC=$\sqrt{P′{C}^{2}+PP{′}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（4\sqrt{2}）^{2}}$=6；
（2）把△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，如图2，
由（1）得△BPP′为等腰直角三角形，CP′=AP，∠BAP=∠BCP′，
∴PP′=$\sqrt{2}$PB，
∵PA²+PC²=2PB²，
∴CP′²+PC²=PP′²，
∴△PP′C为直角三角形，∠PCP′=90°，
即∠PCB+∠BCP′=90°，
∴∠PCB+∠BAP=90°，
而∠ABC=90°，
∴∠BPA+∠BPC=180°，
∴点A、P、C共线，
即点P在对角线AC上．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．