Question

【题目】如图，在RtΔABC，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，动点M、N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A、B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，MN，设移动时间为t(单位:秒，0<t<2.5).

(1)当t为何值时，ΔMCN面积为2cm?

(2)是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积为cm?若存在，求t的值，若不存在，请说明理由；

(3)当t为何值时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似?

Answer 1

【答案】（1）2 （2）存在；1.5 （3）1.5

【解析】

（1）由题意可知CN＝CM＝t，再用含t的式子表示出三角形CMN的面积，再列方程即可求解；

（2）先根据勾股定理求出AB的长，过点P作PD⊥BC于点D，构造平行线PD∥AC，由平行线分线段成比例求得以t表示的PD的值，再根据“S四边形APNC=S△ABC-S△BPN”列出S与t的关系式,根据其面积等于，列方程求解，再将解进行检验即可得出结果.

（3）分类讨论：△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC两种情况．利用相似三角形的对应边成比例来求t的值；

解：（1）由题意可知CN＝CM＝t，

∴S△MCN＝CMCN＝，

∴，

解得t＝2或t＝﹣2（舍去），

∴当t的值为2时，△MCN的面积为2cm2；

（2）存在，理由如下：

如图1，过P作PD⊥BC于点D，则PD∥AC，

∴△PBD∽△ABC，

∴，

由题意可知AC＝4cm，BC＝3cm，

∴AB＝5cm，且BP＝2tcm，

∴，解得PD＝cm，

∵CN＝t，

∴BN＝3﹣t，

∴S△PBN＝BNPD＝（3﹣t）×＝，

∵S△ABC＝ACBC＝×4×3＝6，

∴S四边形APNC＝S△ABC﹣S△PBN＝6﹣（）＝，

令S四边形APNC＝可得＝，即，解得，

∴当t＝1.5时，四边形APNC的面积为cm2；

（3）由（2）可知AP＝5﹣2t，AM＝4﹣t，

∵△APM和△ABC中满足∠A＝∠A，

∴由△APM和△ABC相似分两种情况，即△APM∽△ABC和△AMP∽△ABC，

当△APM∽△ABC时，则有，即，解得t＝0，不符合题意；

当△AMP∽△ABC时，则有，即，解得t＝1.5，

∴当t的值为1.5时，满足△APM和△ABC相似．