【题目】已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于点A,B两点,交y轴于C点,抛物线的对称轴与x轴交于H点,分别以OC、OA为边作矩形AECO.
(1)求直线AC的解析式;
(2)如图2,P为直线AC上方抛物线上的任意一点,在对称轴上有一动点M,当四边形AOCP面积最大时,求|PM﹣OM|的最大值.
(3)如图3,将△AOC沿直线AC翻折得△ACD,再将△ACD沿着直线AC平移得△A'C′D'.使得点A′、C'在直线AC上,是否存在这样的点D′,使得△A′ED′为直角三角形?若存在,请求出点D′的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) y=x+2;(2) 点M坐标为(﹣2,)时,四边形AOCP的面积最大,此时|PM﹣OM|有最大值; (3)存在,D′坐标为:(0,4)或(﹣6,2)或(,).
【解析】
(1)令x=0,则y=2,令y=0,则x=2或﹣6,求出点A、B、C坐标,即可求解;
(2)连接OP交对称轴于点M,此时,|PM﹣OM|有最大值,即可求解;
(3)存在;分①A′D′⊥A′E;②A′D′⊥ED′;③ED′⊥A′E三种情况利用勾股定理列方程求解即可.
(1)令x=0,则y=2,令y=0,则x=2或﹣6,∴A(﹣6,0)、B(2,0)、C(0,2),函数对称轴为:x=﹣2,顶点坐标为(﹣2,),C点坐标为(0,2),则过点C的直线表达式为:y=kx+2,将点A坐标代入上式,解得:k,则:直线AC的表达式为:yx+2;
(2)如图,过点P作x轴的垂线交AC于点H.
四边形AOCP面积=△AOC的面积+△ACP的面积,四边形AOCP面积最大时,只需要△ACP的面积最大即可,设点P坐标为(m,m2m+2),则点G坐标为(m,m+2),S△ACPPGOA(m2m+2m﹣2)6m2﹣3m,当m=﹣3时,上式取得最大值,则点P坐标为(﹣3,).连接OP交对称轴于点M,此时,|PM﹣OM|有最大值,直线OP的表达式为:yx,当x=﹣2时,y,即:点M坐标为(﹣2,),|PM﹣OM|的最大值为:=.
(3)存在.
∵AE=CD,∠AEC=∠ADC=90°,∠EMA=∠DMC,∴△EAM≌△DCM(AAS),∴EM=DM,AM=MC,设:EM=a,则:MC=6﹣a.在Rt△DCM中,由勾股定理得:MC2=DC2+MD2,即:(6﹣a)2=22+a2,解得:a,则:MC,过点D作x轴的垂线交x轴于点N,交EC于点H.在Rt△DMC中,DHMCMDDC,即:DH2,则:DH,HC,即:点D的坐标为();
设:△ACD沿着直线AC平移了m个单位,则:点A′坐标(﹣6),点D′坐标为(),而点E坐标为(﹣6,2),则==36,==,==.若△A′ED′为直角三角形,分三种情况讨论:
①当+=时,36+=,解得:m=,此时D′()为(0,4);
②当+=时,36+=,解得:m=,此时D′()为(-6,2);
③当+=时,+=36,解得:m=或m=,此时D′()为(-6,2)或(,).
综上所述:D坐标为:(0,4)或(﹣6,2)或(,).
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣3(m是常数).
(1)证明:无论m取什么实数,该抛物线与x轴都有两个交点;
(2)设抛物线的顶点为A,与x轴两个交点分别为B,D,B在D的右侧,与y轴的交点为C.
①求证:当m取不同值时,△ABD都是等边三角形;
②当|m|≤,m≠0时,△ABC的面积是否有最大值,如果有,请求出最大值,如果没有,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某学校为了增强学生体质,决定开放以下球类活动项目:A.篮球、B.乒乓球、C.排球、D.足球.为了解学生最喜欢哪一种活动项目,随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图(如图①,图②),请回答下列问题:
(1)这次被调查的学生共有多少人?
(2)请你将条形统计图补充完整;
(3)若该校共有学生1900人,请你估计该校喜欢D项目的人数.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,有一块长为21m、宽为10m的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道,且人行通道的宽度不能超过3米.
(1)如果两块绿地的面积之和为90m2,求人行通道的宽度;
(2)能否改变人行通道的宽度,使得每块绿地的宽与长之比等于3:5,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】为积极响应市委政府“加快建设天蓝水碧地绿的美丽长沙”的号召,我市某街道决定从备选的五种树中选购一种进行栽种.为了更好地了解社情民意,工作人员在街道辖区范围内随机抽取了部分居民,进行“我最喜欢的一种树”的调查活动(每人限选其中一种树),并将调查结果整理后,绘制成如图两个不完整的统计图:
请根据所给信息解答以下问题:
(1)这次参与调查的居民人数为: ;
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)请计算扇形统计图中“枫树”所在扇形的圆心角度数;
(4)已知该街道辖区内现有居民8万人,请你估计这8万人中最喜欢玉兰树的有多少人?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,抛物线的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.
(1)求A、B、C的坐标;
(2)点M为线段AB上一点(点M不与点A、B重合),过点M作x轴的垂线,与直线AC交于点E,与抛物线交于点P,过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q,过点Q作QN⊥x轴于点N.若点P在点Q左边,当矩形PQMN的周长最大时,求△AEM的面积;
(3)在(2)的条件下,当矩形PMNQ的周长最大时,连接DQ.过抛物线上一点F作y轴的平行线,与直线AC交于点G(点G在点F的上方).若FG=DQ,求点F的坐标.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,正△ABC的顶点B(﹣3,0)、C(﹣1,0),过坐标原点O的一条直线分别与边AB、AC交于点M、N.若OM=2ON,则点N的坐标为_____.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行,在A地观测到我渔船C在东北方向上的我国某传统渔场.若渔政310船航向不变,航行半小时后到达B处,此时观测到我渔船C在北偏东30°方向上.问渔政310船再航行多久,离我渔船C的距离最近?(假设我渔船C捕鱼时移动距离忽略不计,结果不取近似值.)
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】热气球的探测器显示,从热气球底部A处看一栋高楼顶部的俯角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,热气球A处与地面距离为420米,求这栋楼的高度.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com