Question

4．△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB=3：4：5，CE是AB上的高，∠BHC=135°，求证：BD⊥AC．

Answer 1

分析 根据三角形内角和为180°，∠A：∠ABC：∠ACB=3：4：5，可以求得△ABC各内角的值，CE是AB上的高，进而求得∠BCE的值，∠HCD的值，又因为∠BHC=135°，根据外角的性质进而求得∠HDC的值，从而可证得结论成立．

解答 证明：∵在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB=3：4：5，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A=45°，∠ABC=60°，∠ACB=75°．
∵CE是AB上的高，
∴∠CEB=90°．
∵∠ABC=60°，∠ACB=75°，
∴∠BCE=30°，∠HCD=45°．
又∵∠BHC=135°，∠BHC=∠HCD+∠HDC，
∴∠HDC=90°．
∴BD⊥AC．

点评 本题考查三角形的内角和，垂直的性质，三角形外角的性质，关键是灵活变化，最终求出所要证明的结论．