Question

已知，在平面直角坐标系中，A（a，0）、B（0，b），a、b满足

a-b

+|a-3

2

|=0．C为AB的中点，P是线段AB上一动点，D是x轴正半轴上一点，且PO=PD，DE⊥AB于E．
（1）求∠OAB的度数；
（2）设AB=6，当点P运动时，PE的值是否变化？若变化，说明理由；若不变，请求PE的值；
（3）设AB=6，若∠OPD=45°，求点D的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据非负数的性质即可求得a，b的值，从而得到△AOB是等腰直角三角形，据此即可求得；
（2）根据等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质可以得到∠POC=∠DPE，即可证得△POC≌△DPE，则OC=PE，OC的长度根据等腰直角三角形的性质可以求得；
（3）利用等腰三角形的性质，以及外角的性质证得∠POC=∠DPE，即可证得△POC≌△DPE，根据全等三角形的对应边相等，即可求得OD的长，从而求得D的坐标．

解答：解：（1）根据题意得：

a=b a-3 2 =0

，
解得：a=b=3

2

，
∴OA=OB，
又∵∠AOB=90°
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°．
（2）PE的值不变．理由如下：
∵△AOB为等腰直角三角形，且AC=BC，
∴∠AOC=∠BOC=45°     
又∵OC⊥AB于C，
∵PO=PD
∴∠POD=∠PDO
又∵∠POD=45°+∠POC∠PDO=45°+∠DPE，
∴∠POC=∠DPE     
在△POC和△DPE中，

∠POC=∠DPE      ∠OCP=∠PED   PO=PD

  
∴△POC≌△DPE，
∴OC=PE  
又OC=

1

2

AB=3
∴PE=3；
（3）∵OP=PD，
∴∠POD=∠PDO=

180-∠OPD

2

=

180°-45°

2

=67.5°，
则∠PDA=180°-∠PDO=180°-67.5°=112.5°，
∵∠POD=∠A+∠APD，
∴∠APD=67.5°-45°=22.5°，
∴∠BPO=180°-∠OPD-∠APD=112.5°，
∴∠PDA=∠BPO
则在△POB和△DPA中，

∠PDA=∠BPO ∠PAD=∠OBP OA=OB

，
∴△POB≌△DPA．
∴PA=OA=3

2

，
∴DA=PB=6-3

2

，
∴OD=OA-DA=3

2

-（6-3

2

）=6

2

-6
∴D(6

2

-6，0)．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△POB≌△DPA是解题的关键．