Question

如图△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于D，E为弧BD的中点，AM平分∠BAC，求证：AM⊥CE．

Answer 1

考点：圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理

专题：证明题

分析：连接CD，如图，根据圆周角定理，由E为弧BD的中点得∠2=∠3，由BC为直径得到∠BDC=90°，根据等角的余角相等得到∠B=∠4，再利用三角形外角性质得∠1=∠B+∠3，所以∠1=∠4+∠3=∠4+∠2，则AF=AC，加上AM平分∠BAC，根据等腰三角形的性质即可得到AM⊥CE．

解答：证明：连接CD，如图，
∵E为弧BD的中点，
∴∠2=∠3，
∵BC为直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠B+∠2+∠3=90°，
而∠4+∠2+∠3=90°，
∴∠B=∠4，
∵∠1=∠B+∠3，
∴∠1=∠4+∠3=∠4+∠2，
∴AF=AC，
∵AM平分∠BAC，
∴AM⊥CE．

点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．也考查了圆周角定理和等腰三角形的判定与性质．