Question

6．如图，二次函数y=$\frac{2}{3}$x²+bx+c的图象交x轴于A、C两点，交y轴于B点，已知A点坐标是（2，0），B点的纵坐标是8．

（1）求这个二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；
（2）作点A关于直线BC的对称点A′，求点A′的坐标；
（3）在y轴上是否存在一点M，使得∠AMC=30°？如存在，直接写出点M的坐标；如不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A点、B点坐标分别代入二次函数y=$\frac{2}{3}$x²+bx+c，根据待定系数法即可求这个二次函数的表达式，进一步得到其图象的顶点坐标；
（2）如图，作点A关于直线BC的对称点A′，连AA′，交BC于F，过点A′作A′G⊥AC，交AC于G，由△ACF∽△BOC，求得AF，AA′，由△AA′G∽△BCO，求得AG，GA′，可得点A′的坐标；
（3）以AC为边作等边三角形ACT，以T为圆心，作经过A、C两点的辅助圆，圆T与y轴的交点即为所求，根据圆周角定理即可求解．

解答 解：（1）把A点、B点坐标分别代入二次函数y=$\frac{2}{3}$x²+bx+c，可得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}×{2}^{2}+2b+c=0}\\{c=8}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{16}{3}}\\{c=8}\end{array}\right.$．
故这个二次函数的表达式${y_{\;}}=\frac{2}{3}{x^2}-\frac{16}{3}x+8$，顶点坐标为（4，-$\frac{8}{3}$）；
（2）求得C点的坐标（6，0），
如图，作点A关于直线BC的对称点A′，连AA′，交BC于F，过点A′作A′G⊥AC，交AC于G，
AC=OC-OA=6-2=4，
BC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{C}^{2}}$=10，
由△ACF∽△BCO，则$\frac{AF}{AC}$=$\frac{BO}{BC}$，即$\frac{AF}{4}$=$\frac{8}{10}$，解得AF=$\frac{16}{5}$，
∵点A关于直线BC的对称点A′，
∴AA′=$\frac{32}{5}$，
由△AA′G∽△BCO，
则$\frac{AA′}{AG}$=$\frac{BC}{BO}$，即$\frac{\frac{32}{5}}{AG}$=$\frac{10}{8}$，解得AG=$\frac{128}{25}$，
则$\frac{AA′}{GA′}$=$\frac{BC}{OC}$，即$\frac{\frac{32}{5}}{GA′}$=$\frac{10}{6}$，解得GA′=$\frac{96}{25}$，
故点A′的坐标为（$\frac{178}{25}$，$\frac{96}{25}$）；
（3）M（0，2$\sqrt{3}$）或M（0，-2$\sqrt{3}$）．
如备用图，以AC为边作等边三角形ACT，以T为圆心，作经过A、C两点的辅助圆，圆T与y轴的交点即为所求．过T点作TN⊥AC于N，
∵AC=4，OA=2，三角形ACT是等边三角形，
∴ON=2+4÷2=4，TN=2$\sqrt{3}$，
∴M（0，2$\sqrt{3}$）或M（0，-2$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式、顶点坐标的求法、相似三角形的性质、圆周角定理、探究等边三角形的性质等重要知识点，综合性强，能力要求极高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．