Question

（1998•黄冈）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于C、D，交AB于E，AF为⊙O的直径，下列结论：①∠ABP=∠AOP；②

BC

=

DF

；③PC•PD=PE•PO．其中正确结论的个数有（　　）

A．3个

B．2个

C．1个

D．0个

Answer 1

分析：根据切线的性质和切线长定理得到PA=PB，∠APE=∠BPE，∠PAO=90°，根据等腰三角形的性质有AE⊥AB，∠PAB=∠PBA，再根据等角的余角相等得到∠PAB=∠AOP，所以
∠ABP=∠AOP；由OC⊥AB，根据垂径定理得弧AC=弧BC，而∠AOC=∠DOF，得到弧AC=弧DF，所以弧BC=弧DF；易证得Rt△PAE∽Rt△POA，则PA：PO=PE：AP，即PA²=PE•PO，
根据切割线定理有PA²=PC•PD，所以PC•PD=PE•PO．

解答：解：∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴PA=PB，∠APE=∠BPE，∠PAO=90°，
∴AE⊥AB，∠PAB=∠PBA，
∴∠EAO+∠AOP=90°，而∠PAE+∠EAO=90°，
∴∠PAB=∠AOP，
∴∠ABP=∠AOP，所以①正确；
∵OC⊥AB，
∴弧AC=弧BC，
∵∠AOC=∠DOF，
∴弧AC=弧DF，
∴弧BC=弧DF，所以②正确；
∵∠APE=∠OPA，
∴Rt△PAE∽Rt△POA，
∴PA：PO=PE：AP，即PA²=PE•PO，
∵PA²=PC•PD，
∴PC•PD=PE•PO，所以③正确．
故选A．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了垂径定理、三角形相似的判定与性质以及切割线定理．