Question

【题目】若z=3x（3y﹣x）﹣（4x﹣3y）（x+3y）
（1）若x，y均为整数，求证：当x是3的倍数时，z能被9整除；
（2）若y=x+1，求z的最小值．

Answer 1

【答案】解：（1）证明：
z=3x（3y﹣x）﹣（4x﹣3y）（x+3y）
=9xy﹣3x2﹣（4x2+9xy﹣9y2）
=9xy﹣3x2﹣4x2﹣9xy+9y2
=﹣7x2+9y2
∵x是3的倍数时，
∴z能被9整除．
（2）当y=x+1时，
则z=﹣7x2+9（x+1）2
=2x2+18x+9
=2（x+）2﹣
∵2（x+）2≥0
∴z的最小值是﹣ ．
【解析】（1）首先利用整式的乘法计算方法计算，进一步合并求证得出答案即可；
（2）把y=x+1代入（1）中，整理利用二次函数的性质解决问题．
【考点精析】利用二次函数的最值对题目进行判断即可得到答案，需要熟知如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a．