Question

12．如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=$\sqrt{3}$，BO=1，AB的垂直平分线交AB于点E，交射线BO于点F．点P从点A出发沿射线AO以每秒2$\sqrt{3}$个单位的速度运动，同时点Q从点O出发沿OB方向以每秒1个单位的速度运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）当t=$\frac{3}{5}$时，PQ∥EF；
（2）若P、Q关于点O的对称点分别为P′、Q′，当线段P′Q′与线段EF有公共点时，t的取值范围是$\frac{2}{3}$≤t≤1．

Answer 1

分析 （1）利用平行线的性质结合相似三角形的判定与性质得出△AEN∽△QOP，进而利用锐角三角函数关系求出即可；
（2）利用线段垂直平分线的性质得出△FBA是等边三角形，进而得出线段P′Q′与线段EF有公共点时t的最大值，进而得出答案．

解答 解：（1）如图1，当PQ∥EF时，
则∠QPO=∠ENA，
又∵∠AEN=∠QOP=90°，
∴△AEN∽△QOP，
∵∠AOB=90°，AO=$\sqrt{3}$，BO=1，
∴tanA=$\frac{BO}{AO}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠A=∠PQO=30°，
∴$\frac{PO}{QO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}t-\sqrt{3}}{t}$，
解得：t=$\frac{3}{5}$，
故当t=$\frac{3}{5}$时，PQ∥EF；
故答案为：$\frac{3}{5}$；   

（2）如图2，当P点介于P₁和P₂之间的区域时，P₁′点介于P₁′和P₂′之间，此时线段P′Q′与线段EF有交点，
当P运动到P₁时，
∵AE=$\frac{1}{2}$AB=1，且易知△AEP₁′∽△AOB，
∴$\frac{AE}{AO}=\frac{A{{P}_{1}}^{′}}{AB}$，∴AP₁′=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴P₁O=P₁′O=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AP₁=AO+P₁O=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴此时P点运动的时间t=$\frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{2}{3}$s，
当P点运动到P₂时，
∵∠BAO=30°，∠BOA=90°，
∴∠B=60°，
∵AB的垂直平分线交AB于点E，
∴FB=FA，
∴△FBA是等边三角形，
∴当PO=OA=$\sqrt{3}$时，此时Q₂′与F重合，A与P₂′重合，
∴PA=2$\sqrt{3}$，则t=1秒时，线段P′Q′与线段EF有公共点，
故当t的取值范围是：$\frac{2}{3}$≤t≤1．
故答案为：$\frac{2}{3}$≤t≤1．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质、锐角三角三角函数关系等知识，得出临界点时t的最值是解题关键．