Question

5．已知：如图点A（6，8）在正比例函数图象上，B（12，0），联结AB，AO=AB=10，点C是线段AB的中点，点P在线段BO上以每秒3个单位的速度由B点向O点运动，点Q在线段AO上由A点向O点运动，P、Q两点同时运动，同时停止，运动时间为t秒．
（1）求该正比例函数解析式；
（2）当t=1秒，且S_△OPQ=6时，求点Q的坐标；
（3）联结CP，在点P、Q运动过程中，△OPQ与△BPC是否会全等？如果全等，请求出点Q的运动速度；如果不全等，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设正比例函数的解析式为y=kx，然后将点A的坐标代入求解即可；
（2）设点Q的坐标为（m，$\frac{4}{3}$m）．由t=1，可知BP=3，从而可求得OP=9，然后根据三角形的面积公式列出关于m的方程求得m的值即可；
（3）先利用两点间的距离公式求得OA=AB=5，从而得到∠QOP=∠CBP，由△OPQ与△BPC全等可知：OP=BC=5，OQ=BP或OQ=BC=5，OP=PB，从而可求得点Q的运动速度．

解答 解：（1）设正比例函数的解析式为y=kx．
把A（6，8）代入得：8=6k．
解得：k=$\frac{4}{3}$．
故该正比例函数的解析式为y=$\frac{4}{3}$x；
（2）设点Q的坐标为（m，$\frac{4}{3}$m）．
当t=1时，BP=3，
∵BP=12
∴OP=9．
∵S_OPQ=6，
∴$\frac{1}{2}×9×\frac{4}{3}m=6$．
解得；m=1．
∴Q（1，$\frac{4}{3}$）．
（3）如图所示；过点A作AD⊥OB，垂足为D．

由两点之间的距离公式可知：AB=$\sqrt{（12-6）^{2}+（8-0）^{2}}$=10．
∵点C是AB的中点，
∴BC=5．
由两点之间的距离公式可知OA=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10．
∴OA=AB．
∴∠QOP=∠CBP．
∵△OPQ与△BPC全等，
∴OP=BC=5，OQ=BP或OQ=BC=5，OP=PB．
①当OP=BC=5，OQ=BP时，
∵OP=5，
∴12-3t=5．
解得：t=$\frac{7}{3}$．
∵OP=5，
∴OQ=BP=7．
∴AQ=3．
∴$\frac{7}{3}v=3$．
解得；v=$\frac{9}{7}$．
∴点Q运动的速度为$\frac{9}{7}$个单位/秒．
②当OQ=BC=5，OP=PB=6时，
由OP=PB=$\frac{1}{2}OB=6$可知：3t=6，
解得：t=2．
∵OQ=5，
∴AQ=OA-OQ=10-5=5．
∴2v=5．
解得：v=$\frac{5}{2}$．
∴点Q运动的速度为$\frac{5}{2}$个单位/秒．
综上所述：当点Q的运动速度是每秒$\frac{9}{7}$个单位或每秒$\frac{5}{2}$个单位时，△OPQ与△BPC全等．

点评 本题主要考查的是一次函数的综合应用，全等三角形的性质、两点间的距离公式、三角形的面积公式，根据三角形全等得出对应边相等从而求得点P的运动时和点Q运动的距离是解题的关键．