Question

17．如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD=BC，连接BD，作CE⊥AB于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F，且AB=AC．如果∠ABD=105°，∠A=40度．

Answer 1

分析 由CD=BC，可得∠CBD=∠CDB，然后由三角形的外角的性质可得：∠ACB=∠CBD+∠CDB=2∠CBD，由∠ABC=∠ACB，进而可得：∠ABC=2∠CBD，然后由∠ABD=∠ABC+∠CBD=3∠CBD=105°，进而可求：∠CBD的度数及∠ABC的度数，然后由三角形的内角和定理即可求∠A的度数．

解答 解：∵CD=BC，
∴∠CBD=∠CDB，
∵∠ACB=∠CBD+∠CDB，
∴∠ACB=2∠CBD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=2∠CBD，
∵∠ABD=∠ABC+∠CBD=3∠CBD=105°，
∴∠CBD=35°，
∴∠ABC=2∠CBD=70°，
∴∠A=180°-2∠ABC=40°，
故答案为：40．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．