Question

2．如图，在平面直角坐标系中，直线AC的表达式为y=-x+6，直线AC与直线OA相交于点A（4，2），有一动点M在线段OA和线段AC上运动．
（1）求直线OA的表达式．
（2）求△OAC的面积．
（3）是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的$\frac{1}{4}$？若存在请直接写出点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求直线OA的解析式；
（2）根据三角形面积公式计算；
（3）根据三角形的面积公式可判断M的横坐标是1，然后把x=1分别代入OA和AC的解析式中计算对应的函数值即可得到M点的坐标．

解答 解：（1）设直线OA的表达式为y=kx，将点A（4，2）代入得2=4k，解得k=$\frac{1}{2}$，
所以直线AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x；
（2）在y=-x+6中，当x=0，y=6，则C（0，6），
S_△OAC=$\frac{1}{2}$×6×4=12；
（3）∵当△OMC的面积是△OAC的面积的$\frac{1}{4}$时，
∴M的横坐标是$\frac{1}{4}$×4=1，
当点M在线段OA上时，把x=1代入y=$\frac{1}{2}$x得y=$\frac{1}{2}$，则此时M（1，$\frac{1}{2}$）；
当点M在线段AC上时，把x=1代入y=-x+6得y=5，则此时M（1，5），
综上所述，M的坐标为（1，$\frac{1}{2}$）或（1，5）．

点评 本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即k值相同．也考查了三角形面积公式．