Question

在△ABC中，∠B=30°，AB=6，AC=2

3

，求：
（1）BC的长；
（2）判定△ABC的形状．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：

分析：（1）过A作AD⊥BC于D，分为两种情况，画出图形，求出BD和CD，即可求出答案；
（2）分别求出三边的平方，将两小边的平方和与最大边的平方进行比较，即可判断△ABC的形状．

解答：解：（1）如图1，过点A作AD⊥BC于点D，
∵∠B=30°，AB=6，
∴AD=

1

2

AB=3，BD=AB•cos30°=6×

3

2

=3

3

．
在Rt△ACD中，∵AD=3，AC=2

3

，
∴DC=

AC2-AD2

=

12-9

=

3

，
∴BC=BD+DC=3

3

+

3

=4

3

；
如图2，同理可得，
AD=

1

2

AB=3，BD=AB•cos30°=6×

3

2

=3

3

，DC=

AC2-AD2

=

12-9

=

3

，
∴BC=BD-DC=3

3

-

3

=2

3

．
综上所述，BC的长为4

3

或2

3

；

（2）如图1，在△ABC中，
∵AB=6，AC=2

3

，BC=4

3

，
∴AB²=36，AC²=12，BC²=48，
∴AB²+AC²=BC²，
∴△ABC是直角三角形；
如图2，在△ABC中，
∵AB=6，AC=2

3

，BC=2

3

，
∴AC=BC，即△ABC是等腰三角形，
又AB²=36，AC²=12，BC²=12，
∴BC²+AC²＜AB²，
∴△ABC是钝角三角形；
综上所述，△ABC是直角三角形或等腰三角形．

点评：本题考查了解直角三角形，勾股定理及其逆定理的应用，主要考查学生的计算能力，进行分类讨论是解题的关键．