Question

已知二次函数的顶点坐标为（-

n

m+n

，-

m2

m+n

），与y轴的交点为（0，n-m），其顶点恰好在直线y=x+

1

2

（1-m）上（其中m、n为正数）．
（1）求证：此二次函数的图象与x轴有2个交点；
（2）在x轴上是否存在这样的定点：不论m、n如何变化，二次函数的图象总通过此定点？若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：证明题,存在型

分析：（1）把二次函数顶点坐标代入代入y=x+

1

2

（1-m）得-

n

m+n

+

1

2

（1-m）=-

m2

m+n

，整理后利用因式分解得到（m-n）（m+1）=0，则m=n或m=-1（舍去），于是二次函数的顶点坐标为（-

1

2

，-

m

2

），与y轴的交点为（0，0），由m为正数可判断二次函数的顶点在第四象限，而抛物线过原点，所以抛物线开口向上，由此得到此二次函数的图象与x轴有2个交点；
（2）由（1）得到抛物线的对称轴为直线x=-

1

2

，抛物线与x轴的一个交点坐标为（0，0），利用对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0）．

解答：（1）证明：把（-

n

m+n

，-

m2

m+n

）代入y=x+

1

2

（1-m）得-

n

m+n

+

1

2

（1-m）=-

m2

m+n

，
整理得m²-mn+m-n=0，
∵（m-n）（m+1）=0，
∴m=n或m=-1（舍去），
∴二次函数的顶点坐标为（-

1

2

，-

m

2

），与y轴的交点为（0，0），
∵m为正数，
∴二次函数的顶点在第四象限，
而抛物线过原点，
∴抛物线开口向上，
∴此二次函数的图象与x轴有2个交点；
（2）解：存在．
∵抛物线的对称轴为直线x=-

1

2

，抛物线与x轴的一个交点坐标为（0，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），
即不论m、n如何变化，二次函数的图象总通过点（-1，0）和（0，0）．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标；二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系，△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．