Question

（2012•天津）已知抛物线y=ax²+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x₀，y₀），点A（1，y_A）、B（0，y_B）、C（-1，y_C）在该抛物线上．
（Ⅰ）当a=1，b=4，c=10时，
①求顶点P的坐标；
②求

yA

yB-yC

的值；
（Ⅱ）当y₀≥0恒成立时，求

yA

yB-yC

的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将a=1，b=4，c=10代入解析式，即可得到二次函数解析式；
①将二次函数化为顶点式，即可得到抛物线顶点坐标；
②将A（1，y_A）、B（0，y_B）、C（-1，y_C）分别代入解析式，即可求出y_A、y_B、y_C的值，然后计算

yA

yB-yC

的值即可；
（Ⅱ）根据0＜2a＜b，求出x₀=-

b

2a

＜-1，作出图中辅助线：点A作AA₁⊥x轴于点A₁，则AA₁=y_A，OA₁=1．连接BC，过点C作CD⊥y轴于点D，则BD=y_B-y_C，CD=1．过点A作AF∥BC，交抛物线于点E（x₁，y_E），交x轴于点F（x₂，0），证出Rt△AFA₁∽Rt△BCD，得到

yA

yB-yC

=

1-x2

1

=1-x₂，再根据△AEG∽△BCD得到

yA-yE

yB-yC

=1-x₁，然后求出y_A、y_B、y_C、y_E的表达式，然后y₀≥0恒成立，得到x₂≤x₁＜-1，从而利用不等式求出

yA

yB-yC

的最小值．

解答：解：（Ⅰ）若a=1，b=4，c=10，
此时抛物线的解析式为y=x²+4x+10．
①∵y=x²+4x+10=（x+2）²+6，
∴抛物线的顶点坐标为P（-2，6）．
②∵点A（1，y_A）、B（0，y_B）、C（-1，y_C）在抛物线y=x²+4x+10上，
∴y_A=15，y_B=10，y_C=7．
∴

yA

yB-yC

=

15

10-7

=5．

（Ⅱ）由0＜2a＜b，得x₀=-

b

2a

＜-1．
由题意，如图过点A作AA₁⊥x轴于点A₁，则AA₁=y_A，OA₁=1．
连接BC，过点C作CD⊥y轴于点D，则BD=y_B-y_C，CD=1．
过点A作AF∥BC，交抛物线于点E（x₁，y_E），交x轴于点F（x₂，0），
则∠FAA₁=∠CBD．
于是Rt△AFA₁∽Rt△BCD．
有

AA1

BD

=

FA1

CD

，即

yA

yB-yC

=

1-x2

1

=1-x₂．
过点E作EG⊥AA₁于点G，
易得△AEG∽△BCD．
有

AG

BD

=

EG

CD

，即

yA-yE

yB-yC

=1-x₁．
∵点A（1，y_A）、B（0，y_B）、C（-1，y_C）、E（x₁，y_E）在抛物线y=ax²+bx+c上，
得y_A=a+b+c，y_B=c，y_C=a-b+c，y_E=ax12+bx1+c，
∴

(a+b+c)-(ax12+bx1+c)

c-(a-b+c)

=1-x₁．
化简，得x12+x1-2=0，
解得x₁=-2（x₁=1舍去）．
∵y₀≥0恒成立，根据题意，有x₂≤x₁＜-1，
则1-x₂≥1-x₁，即1-x₂≥3．
∴

yA

yB-yC

的最小值为3．

点评：本题考查了配方法求二次函数顶点坐标，函数图象上点的坐标特征，以及相似三角形的性质，利用不等式求最值，综合性很强，旨在考查同学们的综合逻辑思维能力，要认真对待．