Question

（2012•天津）已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B．

（Ⅰ）如图①，若∠BAC=25°，求∠AMB的大小；
（Ⅱ）如图②，过点B作BD⊥AC于E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由AM与圆O相切，根据切线的性质得到AM垂直于AC，可得出∠MAC为直角，再由∠BAC的度数，用∠MAC-∠BAC求出∠MAB的度数，又MA，MB为圆O的切线，根据切线长定理得到MA=MB，利用等边对等角可得出∠MAB=∠MBA，由底角的度数，利用三角形的内角和定理即可求出∠AMB的度数；
（Ⅱ）连接AB，AD，由直径AC垂直于弦BD，根据垂径定理得到A为优弧

BAD

的中点，根据等弧对等弦可得出AB=AD，由AM为圆O的切线，得到AM垂直于AC，又BD垂直于AC，根据垂直于同一条直线的两直线平行可得出BD平行于AM，又BD=AM，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ADBM为平行四边形，再由邻边MA=MB，得到ADBM为菱形，根据菱形的邻边相等可得出BD=AD，进而得到AB=AD=BD，即△ABD为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠D为60°，再利用菱形的对角相等可得出∠AMB=∠D=60°．

解答：解：（Ⅰ）∵MA切⊙O于点A，
∴∠MAC=90°，又∠BAC=25°，
∴∠MAB=∠MAC-∠BAC=65°，
∵MA、MB分别切⊙O于点A、B，
∴MA=MB，
∴∠MAB=∠MBA，
∴∠M=180°-（∠MAB+∠MBA）=50°；

（Ⅱ）如图，连接AD、AB，
∵MA⊥AC，又BD⊥AC，
∴BD∥MA，又BD=MA，
∴四边形MADB是平行四边形，又MA=MB，
∴四边形MADB是菱形，
∴AD=BD．
又∵AC为直径，AC⊥BD，
∴

AB

=

AD

，
∴AB=AD，又AD=BD，
∴AB=AD=BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠D=60°，
∴在菱形MADB中，∠AMB=∠D=60°．

点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，弦、弧及圆心角之间的关系，菱形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，切线长定理，以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．