Question

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，-$\frac{7}{2}$）在直线y=-$\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}$上，AB∥y轴，且点B的纵坐标为1，双曲线y=$\frac{m}{x}$经过点B．
（1）求a的值及双曲线y=$\frac{m}{x}$的解析式；
（2）经过点B的直线与双曲线y=$\frac{m}{x}$的另一个交点为点C，且△ABC的面积为$\frac{27}{4}$．
①求直线BC的解析式；
②过点B作BD∥x轴交直线y=-$\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}$于点D，点P是直线BC上的一个动点．若将△BDP以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据一次函数图象上点的坐标特征可得到-$\frac{3}{2}$a-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$，解得a=2，则A（2，-$\frac{7}{2}$），再确定点B的坐标为（2，1），然后把B点坐标代入y=$\frac{m}{x}$中求出m的值即可得到反比例函数的解析式；
（2）①设C（t，$\frac{2}{t}$），根据三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$×（2-t）×（1+$\frac{7}{2}$）=$\frac{27}{4}$，解得t=-1，则点C的坐标为（-1，-2），再利用待定系数法求直线BC的解析式；
②先确定D（-1，1），根据直线BC解析式的特征可得直线BC与x轴的夹角为45°，而BD∥x轴，于是得到∠DBC=45°，根据正方形的判定方法，只有△PBD为等腰直角三角形时，以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形，分类讨论：若∠BPD=90°，则点P在BD的垂直平分线上，易得此时P（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）；若∠BDP=90°，利用PD∥y轴，易得此时P（-1，-2）．

解答 解：（1）∵点A（a，$-\frac{7}{2}$）在直线y=-$\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}$上，
∴-$\frac{3}{2}$a-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$，解得a=2，
则A（2，-$\frac{7}{2}$），
∵AB∥y轴，且点B的纵坐标为1，
∴点B的坐标为（2，1）．
∵双曲线y=$\frac{m}{x}$经过点B（2，1），
∴m=2×1=2，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{2}{x}$；
（2）①设C（t，$\frac{2}{t}$），
∵A（2，-$\frac{7}{2}$），B（2，1），
∴$\frac{1}{2}$×（2-t）×（1+$\frac{7}{2}$）=$\frac{27}{4}$，
解得t=-1，
∴点C的坐标为（-1，-2），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（2，1），C（-1，-2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=1}\\{-k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=x-1；
②当y=1时，-$\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}$=1，解得x=-1，则D（-1，1），
∵直线BCy=x-1为直线y=x向下平移1个单位得到，
∴直线BC与x轴的夹角为45°，
而BD∥x轴，
∴∠DBC=45°，
当△PBD为等腰直角三角形时，以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形，
若∠BPD=90°，则点P在BD的垂直平分线上，P点的横坐标为$\frac{1}{2}$，当x=$\frac{1}{2}$时，y=x-1=-$\frac{1}{2}$，此时P（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
若∠BDP=90°，则PD∥y轴，P点的横坐标为-1，当x=-1时，y=x-1=-2，此时P（-1，-2），
综上所述，满足条件的P点坐标为（-1，-2）或（$\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式和正方形的判定方法．