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【题目】如图,在RtABC中,∠ACB90°AC6cmBC8cm,点P从点A出发沿线段AB以每秒1cm的速度运动,同时点Q从点B出发沿折线BCA以每秒2cm的速度运动.其中一点停止则另一点也随之停止,设运动时间为t秒.

)①直接写出t的取值范围:   

②当点P运动到AB中点时,连结PQPCBQ,求证:△CPQ∽△ABQ

)当△BPQ是直角三角形时,求t的值.

【答案】)①0≤t≤7,②见解析;(t

【解析】

利用勾股定理求出AB的长即可解决问题.

根据两角对应相等两三角形相似即可证明.

)分两种情形:如图2中,当PQ∥AC时,∠PQB∠C90°如图3中,当∠QPB90°时,分别求解即可.

解:在Rt△ABC中,∵∠ACB90°AC6BC8

∴AB10

107710

∴t的取值范围为:

故答案为:0≤t≤7

证明:如图1中,由题意点P运动到AB的中点时,t5

∴CQ5×282

∵∠ACB90°PAPB

∴PCPAPB5

∴∠PCQ∠A

∴△QCP∽△CAB

)解:如图2中,当PQ∥AC时,∠PQB∠C90°

∵PQ∥AC

解得:

如图3中,当∠QPB90°时,

∵∠QPB∠ACB90°∠B∠B

∴△BPQ∽△BCA

解得:

综上所述,满足条件的t的值为:.

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