【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,点P从点A出发沿线段AB以每秒1cm的速度运动,同时点Q从点B出发沿折线B﹣C﹣A以每秒2cm的速度运动.其中一点停止则另一点也随之停止,设运动时间为t秒.
(Ⅰ)①直接写出t的取值范围: ;
②当点P运动到AB中点时,连结PQ,PC,BQ,求证:△CPQ∽△ABQ;
(Ⅱ)当△BPQ是直角三角形时,求t的值.
【答案】(Ⅰ)①0≤t≤7,②见解析;(Ⅱ)t=或
【解析】
(Ⅰ)①利用勾股定理求出AB的长即可解决问题.
②根据两角对应相等两三角形相似即可证明.
(Ⅱ)分两种情形:①如图2中,当PQ∥AC时,∠PQB=∠C=90°.②如图3中,当∠QPB=90°时,分别求解即可.
(Ⅰ)①解:在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,AC=6,BC=8,
∴AB===10,
∵=10,=7,7<10,
∴t的取值范围为:.
故答案为:0≤t≤7.
②证明:如图1中,由题意点P运动到AB的中点时,t=5,
∴CQ=5×2﹣8=2,
∵∠ACB=90°,PA=PB,
∴PC=PA=PB=5,
∴∠PCQ=∠A,
∵,,
∴,
∴△QCP∽△CAB,
(Ⅱ)解:①如图2中,当PQ∥AC时,∠PQB=∠C=90°,
∵PQ∥AC,
∴,
∴,
解得:;
②如图3中,当∠QPB=90°时,
∵∠QPB=∠ACB=90°,∠B=∠B,
∴△BPQ∽△BCA,
∴,
∴,
解得:;
综上所述,满足条件的t的值为:或.
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【题目】已知关于x的方程 (m-1)x-mx+1=0。
(1)证明:不论m为何值时,方程总有实数根;
(2)若m为整数,当m为何值时,方程有两个不相等的整数根。
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,AD⊥BC,OE⊥BC,若∠BAC=45°.
(1)求证:OE=BC;
(2)将△ACD沿AC折叠为△ACF,将△ABD沿AB折叠为△ABG,延长FC和GB相交于点H,若BD=6,CD=4,求AD的长;
(3)作OM⊥AB于M,ON⊥AC于N,在(2)的条件下求.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O作一条直线分别交DA,BC的延长线于点E,F,连接BE,DF.
(1)求证:四边形BFDE是平行四边形;
(2)若EF⊥AB,垂足为M,,AE=2,求菱形ABCD的边长.
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【题目】某商场将进货价为30元的台灯以40元的价格售出,平均每月能售出600个,经调查表明,这种台灯的售价每上涨1元,其销量就减少10个,市场规定此台灯售价不得超过60元,为了实现销售这种台灯平均每月10000元的销售利润,售价应定为多少元?这时售出台灯多少个?
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【题目】HW公司2018年使用自主研发生产的“QL“系列甲、乙、丙三类芯片共2800万块,生产了2800万部手机,其中乙类芯片的产量是甲类芯片的2倍,丙类芯片的产量比甲,乙两类芯片产量的和还多400万块.这些“QL“芯片解决了该公司2018年生产的全部手机所需芯片的10%.
(1)求2018年甲类芯片的产量.
(2)HW公司计划2020年生产的手机全部使用自主研发的“QL”系列芯片.从2019年起逐年扩大“QL”芯片的产量,2019年、2020年这两年,甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数m%,乙类芯片的产量平均每年增长的百分数比m%小1%,丙类芯片的产量每年按相同的数量3200万块递增.这样,2020年的HW公司的手机产量比2018年全年的手机产量多10%,求m的值.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2﹣2mx﹣3(m≠0)与x轴交于A(3,0),B两点.
(1)求抛物线的表达式及点B的坐标;
(2)当﹣2<x<3时的函数图象记为G,求此时函数y的取值范围;
(3)在(2)的条件下,将图象G在x轴上方的部分沿x轴翻折,图象G的其余部分保持不变,得到一个新图象M.若经过点C(4.2)的直线y=kx+b(k≠0)与图象M在第三象限内有两个公共点,结合图象求b的取值范围.
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