Question

【题目】如图1，在直角坐标系xOy中，点A在y轴上，点B，点C在x轴上，点C在点B的右侧，OA=2OB=2BC=2．

（1）点C的坐标是　 　；

（2）点P是x轴上一点，点P到AC的距离等于AC的长度，求点P的坐标；

（3）如图2，点D是AC上一点，∠CBD=∠ABO，连接OD，在AB上是否存在一点Q，使QB=AB﹣OD，若存在，求点Q与点D的横坐标之和，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2，0）；（2）P（﹣2，0）或（6，0）；（3）点Q与点D的横坐标之和为2或．

【解析】

（1）根据2OB=2BC=2,可得OB=BC=1,进而可求得OC=OB+BC=2,所以C（2,0）,

（2）如图1,

根据OA=2,可得A（0,2）,根据C（2,0）由勾股定理可得:AC=2,

过点P作PD⊥AC于D,根据点P到AC的距离等于AC的长度,可得DP=AC=2，

再根据∠PDC=∠AOC,∠PCD=∠ACO,可证:△PCD∽△ACO,根据相似三角形的性质可得:

即,解得PC=4,进而求得:OP=PC+OC=4+2=6,所以P（6,0）或OP=PC﹣OC=4﹣2=2,即:P（﹣2,0）或（6,0）,

（3）如图2,延长DB交y轴点E,可得∠DBC=∠OBE,

根据∠DBC=∠ABO,可得:∠OBC=∠OBA,根据OB⊥AE,可得OE=OA=2,求得E（0,﹣2）,

根据OB=1,可得B（1,0）,利用待定系数法求得:直线BD的解析式为y=2x﹣2①,

再根据A（0,2）,C（2,0）,可求得直线AC的解析式为y=﹣x+2②,联立①②解得,x=,y=,

求出点D（,）,故OD=,根据A（0,2）,B（1,0）,可得直线AB的解析式为y=﹣2x+2,

设点Q（m,﹣2m+2）,由B（1,0）,利用勾股定理可得:BQ==|m﹣1|,由A（0,2）,B（1,0）,可求得:AB=,再根据QB=AB﹣OD,可得|m﹣1|=﹣=，

解得:m=或m=，进而可得:Q（,）或（,﹣）,所以点Q与点D的横坐标之和为+=2或+=．

解:（1）∵2OB=2BC=2,

∴OB=BC=1,

∴OC=OB+BC=2,

∴C（2,0）,

故答案为:（2,0）,

（2）如图1,

∵OA=2,

∴A（0,2）,

∵C（2,0）,

∴AC=2,

过点P作PD⊥AC于D,

∵点P到AC的距离等于AC的长度,

∴DP=AC=2，

∵∠PDC=∠AOC,∠PCD=∠ACO,

∴△PCD∽△ACO,

∴,

∴

∴PC=4,

∴OP=PC+OC=4+2=6，

∴P（6,0）或OP=PC﹣OC=4﹣2=2,

∴P（﹣2,0）,

即:P（﹣2,0）或（6,0）,

（3）存在,理由:如图2,

延长DB交y轴点E,

∴∠DBC=∠OBE,

∵∠DBC=∠ABO,

∴∠OBC=∠OBA,

∵OB⊥AE,

∴OE=OA=2,

∴E（0,﹣2）,

∵OB=1,

∴B（1,0）,

∴直线BD的解析式为y=2x﹣2①,

∵A（0,2）,C（2,0）,

∴直线AC的解析式为y=﹣x+2②,

联立①②解得,x=,y=,

∴D（,）,

∴OD=,

∵A（0,2）,B（1,0）,

∴直线AB的解析式为y=﹣2x+2,

设点Q（m,﹣2m+2）,

∵B（1,0）,

∴BQ==|m﹣1|,

∵A（0,2）,B（1,0）,

∴AB=,

∵QB=AB﹣OD,

∴|m﹣1|=﹣=，

∴m=或m=，

∴Q（,）或（,﹣）,

∴点Q与点D的横坐标之和为+=2或+=．