Question

6．已知抛物线y=mx²+（m-6）x-6（常数m≠0）．
（1）求证：无论非零常数m为何值时，抛物线与x轴总有公共点．
（2）当m为何值时，抛物线与x轴的两个交点的距离等于2？

Answer 1

分析 （1）根据△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数，计算判别式的值，然后利用非负数的性质说明判别式为非负数即可；
（2）先解方程mx²+（m-6）x-6=0得到抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（$\frac{6}{m}$，0），则根据题意得到|$\frac{6}{m}$+1|=2，然后解绝对值方程求出m即可．

解答 （1）证明：△=（m-6）²-4m•（-6）
=m²-12m+36+24m
=（m+6）²，
∵（m+6）²，≥0，即△≥0，
∴无论非零常数m为何值时，抛物线与x轴总有公共点；
（2）解：当y=0时，mx²+（m-6）x-6=0，
则x=$\frac{-（m-6）±\sqrt{（m+6）^{2}}}{2m}$=$\frac{-m+6±（m+6）}{2m}$，
解得x₁=-1，x₂=$\frac{6}{m}$，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（$\frac{6}{m}$，0），
∵抛物线与x轴的两个交点的距离等于2，
∴|$\frac{6}{m}$+1|=2，
解得m=6或m=-2，
即m为6或-2时，抛物线与x轴的两个交点的距离等于2．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的方程ax²+bx+c=0；=对于二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．