Question

1．在正方形ABCO中，A（0，4），B（4，4），C（4，0），O（0，0），E为AO的中点，F为边CO上的动点，分别连接EF，FB，BE得到△EFB，并将其沿FB折叠得到△E′FB．
（1）当点F与点C重合时，问：四边形BEFE′是什么特殊四边形？说明理由
（2）当点F为CO的中点时，求点E′的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理即可得到BE，EF的长，再根据折叠的性质知BE′=BE=2$\sqrt{5}$，FE′=EF=2$\sqrt{5}$，进而得到BE=EF=FE′=E′B，据此可得四边形BEFE′是菱形；
（2）先过E'作E'H⊥x轴于H，作E'G⊥y轴于G，连接EE'，交BF于Q，根据勾股定理求得EE'的长，再设E'H=x，CH=y，则OG=x，GE'=4+y，根据勾股定理得出方程组，求得x和y的值，进而得到点E′的坐标．

解答 解：（1）四边形BEFE′是菱形，理由如下：
如图，∵E为AO的中点，
∴AE=EO=2，
∴BE=EF=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
由折叠的性质知BE′=BE=2$\sqrt{5}$，FE′=EF=2$\sqrt{5}$，
∴BE=EF=FE′=E′B，
∴四边形BEFE′是菱形；

（2）如图所示，过E'作E'H⊥x轴于H，作E'G⊥y轴于G，连接EE'，交BF于Q，
∵E为AO的中点，F为CO的中点，
∴EF=$\sqrt{O{E}^{2}+O{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，BE=BF=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
设FQ=a，则BQ=2$\sqrt{5}$-a，
∵EF²-FQ²=EB²-BQ²，
∴（2$\sqrt{2}$）²-a²=（2$\sqrt{5}$）²-（2$\sqrt{5}$-a）²，
解得a=$\frac{2}{5}\sqrt{5}$，
∴Rt△EFQ中，EQ=$\frac{6}{5}\sqrt{5}$，
由折叠可得，EE'=$\frac{12}{5}\sqrt{5}$，
由折叠的性质知FE′=EF=2$\sqrt{2}$，
设E'H=x，CH=y，则OG=x，GE'=4+y，
∵Rt△EE'G中，EG²+E'G²=EE'²，
∴（2+x）²+（4+y）²=（$\frac{12}{5}\sqrt{5}$）²，①
∵Rt△FE'H中，FH²+E'H²=E'F²，
∴（2+y）²+x²=（2$\sqrt{2}$）²，②
由①和②解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{5}}\\{y=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，（负值已舍去）
∴E'H=$\frac{2}{5}$，CH=$\frac{4}{5}$，
∴OH=4.8，E'H=0.4，
∴E'（4.8，-0.4）．

点评 本题主要考查了折叠问题，菱形的判定以及勾股定理的运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据勾股定理列方程求解，解题时注意：四条边相等的四边形是菱形；翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．