【题目】如图,抛物线经过,两点,与x轴交于另一点B.
求此抛物线的解析式;
若抛物线的顶点为M,点P为线段OB上一动点不与点B重合,点Q在线段MB上移动,且,设线段,,求与x的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围;
在同一平面直角坐标系中,两条直线,分别与抛物线交于点E、G,与中的函数图象交于点F、问四边形EFHG能否成为平行四边形?若能,求m、n之间的数量关系;若不能,请说明理由.
【答案】(1);(2);(3)m、n之间的数量关系是且.
【解析】
将A、C的坐标代入抛物线的解析式中,即可求出的函数解析式;
过M作轴于N,根据抛物线的函数解析式,即可得到M点的坐标,可分别在和中,用勾股定理表示出MN的长,由此可得到关于PM、x的函数关系式;由于,易证得∽,根据相似三角形得到的比例线段即可得到关于PM、的关系式,联立两式即可求出、x的函数关系式;
根据两根抛物线的解析式和两条直线的解析式,可求出E、F、G、H四点的坐标,即可得到EF、GH的长,由于,若四边形EFHG是平行四边形,那么必有,可据此求出m、n的数量关系.
解:抛物线经过,两点;
,
解得.
抛物线的解析式为;
作,垂足为N.
由,易得,,,;
,,,;
根据勾股定理有:,
;
又,公共角,
∽,
;
由得:;
,
与x的函数关系式为;
四边形EFHG可以为平行四边形,m、n之间的数量关系是:且;
点E、G是抛物线分别与直线,的交点,
点E、G坐标为,;
同理,点F、H坐标为,
,;
四边形EFHG是平行四边形,,
,
;
由题意知,
;
因此四边形EFHG可以为平行四边形,m、n之间的数量关系是且.
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【题目】已知:如图,在矩形ABCD中,M、N分别是边AD、BC的中点,E、F分别是线段BM、CM的中点
(1)求证:△ABM≌△DCM
(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形,并证明你的结论;
(3)当AD:AB= _时,四边形MENF是正方形(只写结论,不需证明)
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【题目】已知,在中,,,,D是AC边上的一个动点,将沿BD所在直线折叠,使点A落在点E处.
如图,若点D是AC的中点,连接求证:四边形BCED是平行四边形;
如图,若,求的值.
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【题目】小烨在探究数轴上两点间距离时发现:若两点在轴上或与轴平行,两点的横坐标分别为,则两点间距离为;若两点在轴上或与轴平行,两点的纵坐标分别为,则两点间距离为.据此,小烨猜想:对于平面内任意两点,两点间的距离为.
(1)请你利用下图,试证明:;
(2)若,试在轴上求一点,使的距离最短,并求出的最小值和点坐标.
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【题目】小王抽样调查了本地若干天的空气质量情况,把空气质量分成四类:类,类,类和类,分别对应的质量级别为优、良、轻度污染和中度污染四种情况,并绘制两个统计图(部分信息缺失);
空气质量条形统计图
空气质量扇形统计图
(1)本次调查的样本容量是________;
(2)已知类和类在扇形统计图中所占的夹角为度,类的频数是类的倍,通过计算,求出类和类的频数,并完成条形统计图;
(3)计算类在扇形统计图中所对应的圆心角度数;
(4)若一年按天计算,求本地全年空气质量达到优良以上的天数(保留整数).
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【题目】某工程队用甲、乙两台隧道挖掘机从两个方向挖掘同一条隧道,因为地质条件不同,甲、乙的挖掘速度不同,已知甲、乙同时挖掘天,可以挖米,若甲挖天,乙挖天可以挖掘米.
(1)请问甲、乙挖掘机每天可以挖掘多少米?
(2)若乙挖掘机比甲挖掘每小时多挖掘米,甲、乙每天挖掘的时间相同,求甲每小时挖掘多少米?
(3)若隧道的总长为米,甲、乙挖掘机工作天后,因为甲挖掘机进行设备更新,乙挖掘机设备老化,甲比原来每天多挖米,同时乙比原来少挖米.最终,甲、乙两台挖掘机在相同时间里各完成隧道总长的一半,请用含,的代数式表示.
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【题目】如图,在中,,点D为AC延长线上一点,连接BD,过A作,垂足为M,交BC于点N
如图1,若,,求AM的长;
如图2,点E在CA的延长线上,且,连接EN并延长交BD于点F,求证:;
在的条件下,当时,请求出的值.
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【题目】如图,在等腰中,,点E在AC上且不与点A、C重合,在的外部作等腰,使,连接AD,分别以AB,AD为邻边作平行四边形ABFD,连接AF.
请直接写出线段AF,AE的数量关系;
将绕点C逆时针旋转,当点E在线段BC上时,如图,连接AE,请判断线段AF,AE的数量关系,并证明你的结论;
若,,在图的基础上将绕点C继续逆时针旋转一周的过程中,当平行四边形ABFD为菱形时,直接写出线段AE的长度.
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