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【题目】如图,抛物线经过两点,与x轴交于另一点B

求此抛物线的解析式;

若抛物线的顶点为M,点P为线段OB上一动点不与点B重合,点Q在线段MB上移动,且,设线段,求x的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围;

在同一平面直角坐标系中,两条直线分别与抛物线交于点EG,与中的函数图象交于点F问四边形EFHG能否成为平行四边形?若能,求mn之间的数量关系;若不能,请说明理由.

【答案】(1);(2);(3)mn之间的数量关系是

【解析】

AC的坐标代入抛物线的解析式中,即可求出的函数解析式;

M轴于N,根据抛物线的函数解析式,即可得到M点的坐标,可分别在中,用勾股定理表示出MN的长,由此可得到关于PMx的函数关系式;由于易证得,根据相似三角形得到的比例线段即可得到关于PM的关系式,联立两式即可求出x的函数关系式;

根据两根抛物线的解析式和两条直线的解析式,可求出EFGH四点的坐标,即可得到EFGH的长,由于,若四边形EFHG是平行四边形,那么必有,可据此求出mn的数量关系.

解:抛物线经过两点;

解得

抛物线的解析式为

,垂足为N

,易得

根据勾股定理有:

公共角

得:

x的函数关系式为

四边形EFHG可以为平行四边形,mn之间的数量关系是:

EG是抛物线分别与直线的交点,

EG坐标为

同理,点FH坐标为

四边形EFHG是平行四边形,

由题意知

因此四边形EFHG可以为平行四边形,mn之间的数量关系是

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