Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=10．

（1）E是CD上的点，将△ADE沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上点F处．求DE的长；

（2）点P是线段CB延长线上的点，连接PA，若△PAF是等腰三角形，求PB的长；

（3）M是AD上的动点，在DC上存在点N，使△MDN沿折痕MN折叠，点D落在BC边上点T处，请直接写出线段CT长度的最大值与最小值．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）6或4或；（3）12．

【解析】

（1）根据折叠的特点和勾股定理即可求出ED的长；

(2)需分AP=AF；PF=AF和AP=PF三种情况分别求出PB的长即可；

（3）由题意可知当点N与C重合时，CT取最大值是8；当点M与A重合时，CT取最小值为4，进而求出线段CT长度的最大值与最小值之和．

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AB=8，AD=10

∴AF=AD=10，FE=DE(折叠对称性)

∵在Rt△ABF中，BF=6，AF=10

∴FC=4

所以在Rt△ECF中，42+（8-DE）2=EF2，

∴DE=5；

(2)当AP=AF时,AB⊥PF，∴PB=BF=6；

当PF=AF时，则PB+6=10，解得PB=4；

若AP=PF，在Rt△APB中，AP2=PB2+AB2，解得PB=．

综合可得PB=6或4或；

（3）当点N与C重合时，CT最大=MD=8；

当点M与A重合时，AT=AD=10,AB=8,CT最小=10-6=4，

∴线段CT长度的最大值与最小值之和为12．