Question

3．如图，矩形ABCD中，AD=12，AB=7，DF平分∠ADC，AF⊥EF．
（1）求EF的长；
（2）在平面上是否存在点Q，使得QA=QD=QE=QF？若存在，求出QA的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=DC=7，BC=AD=12，证出△DCF是等腰直角三角形，得出FC=DC=7，由ASA证明△ABF≌△FCE，得出EF=AF，由勾股定理计算即可；
（2）存在；FE、AD的垂直平分线交于一点即点Q；连接AE、QF；证出FQ是Rt△AFE的中线，由直角三角形斜边上的中线定理得出FQ=QA=QE，再由等腰直角三角形的性质得出QE，即可得出QA．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=DC=7，BC=AD=12，
∴∠BAF+∠AFB=90°，
∵DF平分∠ADC，∴∠ADF=∠CDF=45°，
∴△DCF是等腰直角三角形，
∴FC=DC=7，
∴AB=FC，
∵AF⊥EF，
∴∠AFE=90°，
∴∠AFB+∠EFC=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
在△ABF和△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠EFC}&{\;}\\{AB=FC}&{\;}\\{∠B=∠C}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△FCE（ASA），
∴EF=AF=$\sqrt{{7}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{74}$；
（2）存在；
FE、AD的垂直平分线交于一点即点Q；连接AE、QF；如图所示：
由（1）得：EF=AF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
在Rt△AFE中，AQ=EQ，
∴FQ是Rt△AFE的中线，
∴FQ=QA=QE，AF=EF=$\sqrt{74}$，
∴QE=$\frac{EF}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{37}$，
∴QA=$\sqrt{37}$．

点评 本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．