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    （2008•天津）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．
    （Ⅰ）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图1，求证：MN2=AM2+BN2；
    （思路点拨：考虑MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN=BN，∠MDN=90°就可以了．请你完成证明过程．）
    （Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

    【答案】分析：（Ⅰ）考虑MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN=BN，∠MDN=90°就可以了；
    （Ⅱ）还将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，△GCM≌△ACM，然后由勾股定理即可证明．
    解答：（Ⅰ）证明：∵将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，
    ∴△DCM≌△ACM（1分）
    ∴CD=CA，DM=AM，∠DCM=∠ACM，∠CDM=∠A
    又∵CA=CB，
    ∴CD=CB（2分），
    ∴∠DCN=∠ECF-∠DCM=45°-∠DCM
    ∠BCN=∠ACB-∠ECF-∠ACM
    =90°-45°-∠ACM=45°-∠ACM
    ∴∠DCN=∠BCN （3分）
    又∵CN=CN，
    ∴△CDN≌△CBN．（4分）
    ∴DN=BN，∠CDN=∠B．
    ∴∠MDN=∠CDM+∠CDN=∠A+∠B=90°．（5分）
    ∴在Rt△MDN中，由勾股定理
    ∴MN2=DM2+DN2，即MN2=AM2+BN2．（6分）

    （Ⅱ）解：关系式MN2=AM2+BN2仍然成立．（7分）
    证明：∵将△ACM沿直线CE对折，得△GCM，连GN，
    ∴△GCM≌△ACM．（8分）
    ∴CG=CA，GM=AM，∠GCM=∠ACM，∠CGM=∠CAM，
    又∵CA=CB，得CG=CB．
    ∵∠GCN=∠GCM+∠ECF=∠GCM+45°
    ∴∠BCN=∠ACB-∠ACN=90°-（∠ECF-∠ACM）=45°+∠ACM
    得∠GCN=∠BCN． （8分）
    又∵CN=CN，
    ∴△CGN≌△CBN．
    ∴GN=BN，∠CGN=∠B=45°，∠CGM=∠CAM=180°-∠CAB=135°，
    ∴∠MGN=∠CGM-∠CGN=135°-45°=90°，
    ∴在Rt△MGN中，由勾股定理，
    ∴MN2=GM2+GN2，即MN2=AM2+BN2．（9分）
    点评：此题的关键是辅助线，让MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，转化为在直角三角形中解决．做几何题加辅助线是关键，所以学生要尽可能多的从题中总结，加辅助线的规律．
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