Question

已知点D与点A（8，0），B（0，6），C（a，-a）是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为______．

Answer 1

有两种情况：
①CD是平行四边形的一条边，那么有AB=CD=

62+82

=10

②CD是平行四边形的一条对角线，
过C作CM⊥AO于M，过D作DF⊥AO于F，交AC于Q，过B作BN⊥DF于N，
则∠BND=∠DFA═∠CMA=∠QFA=90°，
∠CAM+∠FQA=90°，∠BDN+∠DBN=90°，
∵四边形ACBD是平行四边形，
∴BD=AC，∠C=∠D，BD∥AC，
∴∠BDF=∠FQA，
∴∠DBN=∠CAM，
∵在△DBN和△CAM中

∠BND=∠AMC ∠DBN=∠CAM BD=AC

∴△DBN≌△CAM（AAS），
∴DN=CM=a，BN=AM=8-a，
D（（8-a，6+a），
由勾股定理得：CD²=（8-a-a）²+（6+a+a）²=8a²-8a+100=8（a-

1

2

）²+98，
当a=

1

2

时，CD有最小值，是

98

∵

98

＜10，
∴CD的最小值是

98

=7

2

．

解法二：
CD是平行四边形的一条对角线
设CD、AB交于点E，
∵点E为AB的中点，
∴E（

8+0

2

，

0+6

2

），即E（4，3）
∵CE=DE，
∴当DE取得最小值时，CE自然为最小，
∵C（a，-a），
∴C点可以看成在直线y=-x上的一点，
∴CE最小值为点E到直线的距离，即CE⊥直线y=-x，
根据两直线垂直，斜率乘积为-1，
∴CE所在直线为y=x+b，代入E（4，3），可得y=x-1，
∴C点坐标为两直线交点：

y=-x y=x-1

，即：（

1

2

，-

1

2

）
∴CE为：

( 1 2 +3)2+(4- 1 2 )2

=

7 2

2

∴CD=7

2

．
故答案为：7

2

．