Question

如图，已知抛物线y=x²+bx+c的顶点坐标为M（0，-1），与x轴交于A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断△MAB的形状，并说明理由；
（3）过原点的任意直线（不与y轴重合）交抛物线于C、D两点，连接MC，MD，试判断MC、MD是否垂直，并说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）待定系数法即可解得．
（2）由抛物线的解析式可知OA=OB=OM=1，得出∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠MBO=45°从而得出△MAB是等腰直角三角形．
（3）分别过C点，D点作y轴的平行线，交x轴于E、F，过M点作x轴的平行线交EC于G，交DF于H，设D（m，m²-1），C（n，n²-1），通过EG∥DH，得出

EC

DF

=

OE

OF

，从而求得m、n的关系，根据m、n的关系，得出△CGM∽△MHD，利用对应角相等得出∠CMG+∠DMH=90°，即可求得结论．

解答：解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c的顶点坐标为M（0，-1），
∴

- b 2 =0 4c-b2 4 =-1

，解得b=0，c=-1，
∴抛物线的解析式为：y=x²-1．

（2）△MAB是等腰直角三角形．
由抛物线的解析式为：y=x²-1可知A（-1，0），B（1，0），
∴OA=OB=OM=1，
∴∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠MBO=45°，
∴∠AMB=∠AMO+∠BMO=90°，AM=BM，
∴△MAB是等腰直角三角形．


（3）MC⊥MD；
分别过C点，D点作y轴的平行线，交x轴于E、F，过M点作x轴的平行线交EC延长线于G，交DF于H，
设D（m，m²-1），C（n，n²-1），
∴OE=-n，CE=1-n²，OF=m，DF=m²-1，
∵OM=1，
∴CG=n²，DH=m²，
∵EG∥DH，
∴

EC

DF

=

OE

OF

，
即

1-n2

m2-1

=

-n

m

，
m（1-n²）=-n（m²-1），
m-mn²=-m²n+n，
（m²n-mn²）=-m+n，
mn（m-n）=-（m-n），
∴mn=-1
解得m=-

1

n

，
∵

CG

GM

=

n2

-n

=-n，

MH

DH

=

m

m2

=

1

m

=-n，
∴

CG

GM

=

MH

DH

，
∵∠CGM=∠MHD=90°，
∴△CGM∽△MHD，
∴∠CMG=∠MDH，
∵∠MDH+∠DMH=90°
∴∠CMG+∠DMH=90°，
∴∠CMD=90°，
即MC⊥MD．

点评：本题考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的判定，三角形相似的判定和性质，作出辅助线是本题的关键．