Question

【题目】如图，在等腰直角三角形中，，点在边上，且，点为边上的任意一点(不与点，重合)，把沿折叠，当点的对应点落在的边上时，的长为________.

Answer 1

【答案】或

【解析】

分两种情况：当A′点在边AC上时，得△AQP为等腰直角三角形，可求出AQ的长度；当A′点在边BC上时，得PQ垂直平分AA′交于点D，易求AD的长，再通过解直角三角形ADQ可示AQ的长.

①当A′点在边AC上时，如图，

∵PB=1，AB=3，

∴AP=2，

由折叠得△AQP为等腰直角三角形，

∴AQ=；

②当A′点在边BC上时，如图，

由折叠得，PQ垂直平分AA′，P A′=PA=2

在Rt△PBA′中，BA′=

在Rt△ABA′中，AA′=

∵sin∠BAA′=

∴∠BAA′=30°,

在Rt△APD中，∠BAA′=30°，AP=2

∴DP=1，

∴AD=，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠BAC=45°，

∴∠DAQ=15°.

在AD上取G取一点F，连接QF，使QF=AF，则∠DFQ=30°，

设QD=a，则QF=2a，由勾股定理得FD=，

∴AD=2a+,

∴2a+=，解得，a=2-3

在Rt△ADQ中，由勾股定理得，AQ=

∴AQ=.

故答案为：或