【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象交坐标轴于A(﹣1,0),B(4,0),C(0,﹣4)三点,点P是直线BC下方抛物线上一动点.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)是否存在点P,使△POC是以OC为底边的等腰三角形?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由;
(3)动点P运动到什么位置时,△PBC面积最大,求出此时P点坐标和△PBC的最大面积.
【答案】(1)抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4;(2)存在满足条件的P点,其坐标为( ,﹣2)(3)P点坐标为(2,﹣6)时,△PBC的最大面积为8.
【解析】
试题分析:(1)由A、B、C三点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;(2)由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上,则可求得P点纵坐标,代入抛物线解析式可求得P点坐标;(3)过P作PE⊥x轴,交x轴于点E,交直线BC于点F,用P点坐标可表示出PF的长,则可表示出△PBC的面积,利用二次函数的性质可求得△PBC面积的最大值及P点的坐标.
试题解析:(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,
把A、B、C三点坐标代入可得,解得,
∴抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4;
(2)作OC的垂直平分线DP,交OC于点D,交BC下方抛物线于点P,如图1,
∴PO=PD,此时P点即为满足条件的点,∵C(0,﹣4),∴D(0,﹣2),∴P点纵坐标为﹣2,
代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4=﹣2,解得x=(小于0,舍去)或x=,
∴存在满足条件的P点,其坐标为(,﹣2);
(3)∵点P在抛物线上,∴可设P(t,t2﹣3t﹣4),
过P作PE⊥x轴于点E,交直线BC于点F,如图2,
∵B(4,0),C(0,﹣4),∴直线BC解析式为y=x﹣4,∴F(t,t﹣4),
∴PF=(t﹣4)﹣(t2﹣3t﹣4)=﹣t2+4t,
∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=PFOE+PFBE=PF(OE+BE)=PFOB=(﹣t2+4t)×4=﹣2(t﹣2)2+8,∴当t=2时,S△PBC最大值为8,此时t2﹣3t﹣4=﹣6,
∴当P点坐标为(2,﹣6)时,△PBC的最大面积为8.
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【题目】已知:如图,点P在线段AB外,且PA=PB,求证:点P在线段AB的垂直平分线上,在证明该结论时,需添加辅助线,则作法不正确的是( )
A. 作∠APB的平分线PC交AB于点C
B. 过点P作PC⊥AB于点C且AC=BC
C. 取AB中点C,连接PC
D. 过点P作PC⊥AB,垂足为C
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【题目】如图所示,已知∠BAC=∠EAD=90o.
(1)判断∠BAE与∠CAD的大小关系,并说明理由.
(2)当∠EAC=60o时,求∠BAD的大小.
(3)探究∠EAC与∠BAD的数量关系,请直接写出结果,不要求说明理由.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC、AB于点M、N,再分别以点M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D,若AC=24,AB=30,且=216,则△ABD的面积是( )
A.105B.120
C.135D.115
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,顶点C的纵坐标为﹣2,现将抛物线向右平移2个单位,得到抛物线y=a1x2+b1x+c1,则下列结论正确的是 .(写出所有正确结论的序号)
①b>0
②a﹣b+c<0
③阴影部分的面积为4
④若c=﹣1,则b2=4a.
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【题目】今年3月12日植树节,美华中学为了进一步绿化学校,计划购买甲、乙两种树苗共计50棵.设购买甲种树苗棵,有关甲、乙两种树苗的信息如下:甲种树苗每棵50元,乙种树苗每棵80元;甲种树苗的成活率为90%,乙种树苗的成活率为95%.
(1)根据信息填表(用含的式子表示):
树苗类型 | 甲种树苗 | 乙种树苗 |
购买树苗的数量(单位:棵) | ||
购买树苗的费用(单位:元) |
(2)如果购买甲、乙两种树苗共用去2560元,那么甲、乙两种树苗各购买了多少棵?
(3)如果要使这批树苗的成活率不低于92%,请设计一种购买甲、乙树苗的方案,使购买甲、乙两种树苗的费用最少,写出购买方案并计算出购买甲、乙两种树苗的总费用.
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【题目】如图,△ABC≌△ADE,线段BC的延长线过点E,与线段AD交于点F,∠ACB=∠AED=108°,∠CAD=12°,∠B=48°,则∠DEF的度数_____.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD=BC=12,AB=CD,BD=15,点E从D点出发,以每秒4个单位的速度沿D→A→D匀速移动,点F从点C出发,以每秒1个单位的速度沿CB向点B作匀速移动,点G从点B出发沿BD向点D匀速移动,三个点同时出发,当有一个点到达终点时,其余两点也随之停止运动,假设移动时间为t秒.
(1)试说明:AD∥BC;
(2)在移动过程中,小明发现有△DEG与△BFG全等的情况出现,请你探究这样的情况会出现几次?并分别求出此时的移动时间t和G点的移动距离.
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