Question

14．如图，在直角△ABC中，∠ACB=Rt∠，∠B=30°，CD为斜边AB上的高线，折叠△ABC使得AC落在AB上，点C与点F重合，展开的折痕AE交CD于点G，连接FG、EF．下列结论：①图中有6对全等三角形；②BC=6DG；③若将△EFG沿FG所在的直线折叠，则点E必在直线CD上；④AG=EF；⑤图中共有5个等腰直角三角形，其中正确的结论的个数是（　　）

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 5个

Answer 1

分析 根据折叠的知识，含30°直角三角形的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的判定判断所给选项是否正确即可．

解答 解：①∵∠ACB=Rt∠，∠B=30°，
∴∠A=60°，AC=$\frac{1}{2}$AB，
有折叠的定义得△GEF≌△GDC，△ACE≌△AFE，∠EAC=∠EAF=∠B=30°，AF=AC，CE=FE，∠AFE=∠ACE=90°，
∴△ACE≌△AFE≌△BFE，
△AFG≌△ACG，
∴∠AFG=∠ACG=30°，
∴∠DFG=∠DAG，
∴GA=GF，
∵∠ADG=∠FDG=90°，
∴△ADG≌△FDG，故①正确；
②∵BC=2CD=2CG+2DG，CG=FG=2DG，
∴BC=6DG，故②正确；
③∵∠AEC=∠ECG=60°，
∴∠EGC=60°，
∴∠FGE=60°，
∴∠FGD=60°，
∴∠FGE=∠FGD，
∴若将△EFG沿FG所在的直线折叠，则点E必在直线CD上，故③正确；
④∵FEG=∠EFG，
∴EF=EG=FG，
∵AG=FG，
∴AG=EF，故④正确；
⑤图中没有5个等腰直角三角形，故⑤错误；
故选C．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、翻折变换，解题的关键是利用翻折不变性推出相等的线段、角，学会通过计算证明角相等，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．