Question

16．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE的位置，若BE=2，CE=3，∠BE′C=135°，则正方形ABCD面积为5+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 连接EE′、AC，根据旋转性质可得△ABE≌△CBE′、BE=BE′=2、∠EBE′=90°，由勾股定理得EE′=2$\sqrt{2}$、∠BE′E=45°，根据∠BE′C=135°知∠EE′C=90°，进一步利用勾股定理得CE′的长，从而有S_△ABE+S_△BEC=S_△BEE′+S_△CEE′=2+$\sqrt{2}$，S_△AEC=$\frac{1}{2}$×AE×CE′=$\frac{1}{2}$，最后根据正方形的性质得S_{正方形ABCD}=2（S_△ABE+S_△BEC+S_△AEC）=5+2$\sqrt{2}$．

解答 解：如图，连接EE′，AC，

∵△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBE′，
∴△ABE≌△CBE′，BE=BE′=2，∠EBE′=90°，
∴△BEE′为等腰直角三角形，
∴EE′=$\sqrt{2}$BE=2$\sqrt{2}$，∠BE′E=45°，
∵∠BE′C=135°，
∴∠EE′C=90°，
在△CEE′中，CE=3，EE′=2$\sqrt{2}$，
∴CE′=AE=$\sqrt{C{E}^{2}-EE{′}^{2}}$=1，
则S_△ABE+S_△BEC=S_△BEE′+S_△CEE′=$\frac{1}{2}$×2×2+$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×1=2+$\sqrt{2}$，
又∵∠AEB=∠BE′C=135°，∠BEE′=45°，
∴∠AEB+∠BEE′=180°，即点A、E、E′共线，
则S_△AEC=$\frac{1}{2}$×AE×CE′=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$，
∴S_{正方形ABCD}=2（S_△ABE+S_△BEC+S_△AEC）=5+2$\sqrt{2}$，
故答案为：5+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定与性质和正方形的性质．