Question

【题目】如图①所示，已知在矩形ABCD中，AB=60cm，BC=90cm，点P从点A出发，以3cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以20cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动的时间为t（s）．

（1）当t=s时，△BPQ为等腰三角形；
（2）当BD平分PQ时，求t的值；
（3）如图②，将△BPQ沿PQ折叠，点B的对应点为E，PE、QE分别与AD交于点F、G．
探索：是否存在实数t，使得AF=EF？如果存在，求出t的值：如果不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）

解：如图1，

过P作PM∥AD，

∴ ，

∴ ，

∴PM=90﹣ t，

∵PN=NQ，PM=BQ，

∴90﹣ t=20t，

∴t= ；

（3）

解：如图2，作GH⊥BQ于H，

∴PB=PF=60﹣3t，

∵AE=EF，∠AEP=∠FEG，∠A=∠F，

∴△AEP≌△FEG，

∴PE=EG，FG=AP，

∴AG=PF=60﹣3t=BH，

∴HQ=BQ﹣BH=20t﹣（60﹣3t）=23t﹣60，

GQ=FQ﹣FG=BQ﹣AP=17t，

根据勾股定理得，602=（17t）2﹣（23t﹣60）2

∴t1=4，t2=7.5（舍），

∴t=4

∴存在t=4，使AE=EF．

【解析】（1）解：当BP=BQ时，60﹣3t=20t，
∴t= ，
所以答案是： ；
【考点精析】关于本题考查的等腰三角形的性质和勾股定理的概念，需要了解等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正确答案．