Question

【题目】请阅读下列材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a(a＞2)的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠GHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．

小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形(如图2) ．

请回答：

(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙不重叠)，则这个新正方形的边为 ；

(2)求正方形MNPQ的面积．

(3)参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S△RPQ=，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）a

（2）∵△RQF，△SMG，△TNH，△WPE四个全等的等腰直角三角形面积和为，正方形ABCD的面积为，∴。

（3）

【解析】试题分析：（1）四个等腰直角三角形的斜边长为a，其拼成的正方形面积为a2，边长为a；

（2）如题图2所示，正方形MNPQ的面积等于四个虚线小等腰直角三角形的面积之和，据此求出正方形MNPQ的面积；

（3）参照小明的解题思路，对问题做同样的等积变换．如答图1所示，三个等腰三角形△RSF，△QET，△PDW的面积和等于等边三角形△ABC的面积，故阴影三角形△PQR的面积等于三个虚线等腰三角形的面积之和．据此列方程求出AD的长度．

试题解析：（1）四个等腰直角三角形的斜边长为a，则斜边上的高为a，

每个等腰直角三角形的面积为： a×a=a2，

则拼成的新正方形面积为：4×a2=a2，即与原正方形ABCD面积相等，

∴这个新正方形的边长为a；

（2）∵四个等腰直角三角形的面积和为a2，正方形ABCD的面积为a2，

∴S正方形MNPQ=S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF=4S△ARE=4××12=2；

（3）如图1所示，分别延长RD，QF，PE，交FA，EC，DB的延长线于点S，T，W．

由题意易得：△RSF，△QET，△PDW均为底角是30°的等腰三角形，其底边长均等于△ABC的边长．

不妨设等边三角形边长为a，则SF=AC=a．

如答图2所示，过点R作RM⊥SF于点M，则MF=SF=a，

在Rt△RMF中，RM=MFtan30°=a×=a，

∴S△RSF=img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2017/12/28/23/c8f2bc24/SYS201712282307356414948798_DA/SYS201712282307356414948798_DA.018.png" width="16" height="41" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />a×a=a2．

过点A作AN⊥SD于点N，设AD=AS=x，

则AN=ADsin30°=x，SD=2ND=2ADcos30°=x，

∴S△ADS=SDAN=×x×x=x2．

∵三个等腰三角形△RSF，△QET，△PDW的面积和=3S△RSF=3×a2=a2，

∴S△RPQ=S△ADS+S△CFT+S△BEW=3S△ADS，

∴=3×x2，得x2=，

解得x=或x=-（不合题意，舍去）

∴x=，即AD的长为．