Question

【题目】几何模型：

条件：如图1，A、B是直线同旁的两个定点．

问题：在直线上确定一点P，使PA+PB的值最小．

方法：作点A关于直线的对称点A′，连接A′B交于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．

模型应用：

（1）如图2,已知平面直角坐标系中两定点A（0，-1），B（2，-1）,P为x轴上一动点, 则当PA+PB的值最小时，点P的横坐标是______，此时PA+PB的最小值是______；

（2）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点.由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称，连接BD，则PB+PE的最小值是______；

（3）如图4,正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一动点P，则PD＋PE的最小值为 ；

（4）如图5,在菱形ABCD中，AB=8，∠B=60°，点G是边CD边的中点，点E、F分别是AG、AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是_______________.

Answer 1

【答案】（1）点P的横坐标是 1 ，此时PA+PB的最小值是；（2）PB+PE的最小值是 （3）这个最小值为 ；（4）EF+ED的最小值是

【解析】

（1）取点A关于x轴对称的点A′，连接A′B，交x轴于P，作BH⊥x轴于H，求出OP，得到点P的横坐标，根据勾股定理求出A′B，得到答案；

（2）由题意易得PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根据勾股定理求得即可；

（3）由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为F点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果；

（4）作DH⊥AC垂足为H与AG交于点E，点H关于AG的对称点为F，此时EF+ED最小=DH，先证明△ADC是等边三角形，在RT△DCH中利用勾股定理即可解决问题．

（1）取点A关于x轴对称的点A′，连接A′B，交x轴于P，作BH⊥x轴于H，

则此时PA+PB的值最小，

∵OA′=OA=1，BH=1，BH∥OA′，

∴OP=PH=1，

∴点P的横坐标是1，

PA+PB=A′B=，

故答案为：1；2；

（2）∵四边形ABCD是正方形，

∴AC垂直平分BD，

∴PB=PD，

由题意易得：PB+PE=PD+PE=DE，

在△ADE中，根据勾股定理得，DE=；

（3）连接BD，与AC交于点F．

∵点B与D关于AC对称，

∴PD=PB，

∴PD+PE=PB+PE=BE最小．

∵正方形ABCD的面积为12，

∴AB=2，

又∵△ABE是等边三角形，

∴BE=AB=2，

故所求最小值为2．

（4）如图作DH⊥AC垂足为H与AG交于点E，

∵四边形ABCD是菱形，

∵AB=AD=CD=BC=8，

∵∠B=60°，

∴∠ADC=∠B=60°，

∴△ADC是等边三角形，

∵AG是中线，

∴∠GAD=∠GAC

∴点H关于AG的对称点F在AD上，此时EF+ED最小=DH．

在RT△DHC中，∵∠DHC=90°，DC=6，∠CDH=∠ADC=30°，

∴CH=DC=4，DH=，

∴EF+DE的最小值=DH=4．