Question

【题目】如图，已知直线与轴，轴分别交于，两点，以为直角顶点在第二象限作等腰．

（1）求点的坐标，并求出直线的关系式；

（2）如图，直线交轴于，在直线上取一点，连接，若，求证：．

（3）如图，在（1）的条件下，直线交轴于点，是线段上一点，在轴上是否存在一点，使面积等于面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x+4；（2）见解析；（3）存在，点N（﹣，0）或（，0）．

【解析】

（1）根据题意证明△CHB≌△BOA（AAS），即可求解；

（2）求出B、E、D的坐标分别为（-1，0）、（0，）、（1，-1），即可求解；

（3）求出BC表达式，将点P代入，求出a值，再根据AC表达式求出M点坐标，由S△BMC=MB×yC=×10×2=10，S△BPN＝S△BCM=5＝ NB×a=可求解．

解：（1）令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝﹣2，

则点A、B的坐标分别为：（0，4）、（﹣2，0），

过点C作CH⊥x轴于点H，

∵∠HCB+∠CBH＝90°，∠CBH+∠ABO＝90°，

∴∠ABO＝∠BCH，

∠CHB＝∠BOA＝90°，BC＝BA，

在△CHB和△BOA中，

，

∴△CHB≌△BOA（AAS），

∴BH＝OA＝4，CH＝OB=2，

∴ 点C（﹣6，2），

将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y= m x+ b得：，

解得：，

故直线AC的表达式为：y＝x+4；

（2）同理可得直线CD的表达式为：y＝﹣x﹣1①，则点E（0，﹣1），

直线AD的表达式为：y＝﹣3x+4②，

联立①②并解得：x＝2，即点D（2，﹣2），

点B、E、D的坐标分别为（﹣2，0）、（0，﹣1）、（2，﹣2），

故点E是BD的中点，即BE＝DE；

（3）将点BC的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线BC的表达式为：y＝﹣x-1，

将点P（﹣，a）代入直线BC的表达式得：，

直线AC的表达式为：y＝x+4，

令y=0，则x=-12，则点M（﹣12，0），

S△BMC＝MB×y C＝×10×2=10，

S△BPN＝S△BCM=5＝NB×a=，

解得：NB＝，

故点N（﹣，0）或（，0）．