Question

【题目】如图，平面直角坐标系中，点A在第四象限，点B在x轴正半轴上，在△OAB中，∠OAB＝90°，AB＝AO＝6，点P为线段OA上一动点（点P不与点A和点O重合），过点P作OA的垂线交x轴于点C，以点C为正方形的一个顶点作正方形CDEF，使得点D在线段CB上，点E在线段AB上．

（1）①求直线AB的函数表达式．

②直接写出直线AO的函数表达式　 　；

（2）连接PF，在Rt△CPF中，∠CFP＝90°时，请直接写出点P的坐标为　 　；

（3）在（2）的前提下，直线DP交y轴于点H，交CF于点K，在直线OA上存在点Q．使得△OHQ的面积与△PKE的面积相等，请直接写出点Q的坐标　 　．

Answer 1

【答案】（1）①y＝x﹣12；②y＝﹣x；（2）(3，﹣3)；（3）(2，﹣2)或(﹣2，2)

【解析】

（1）①利用等腰直角三角形的性质可以得到点A和点B的坐标，从而根据待定系数法求得直线AB的函数表达式；

②根据点A和点O的坐标可以求得直线AO的表达式；

（2）根据题意画出图形，首先得出点P、F、E三点共线，然后根据正方形的性质得出PE是△OAB的中位线，即点P为OA的中点，则点P的坐标可求；

（3）根据题意画出图形，然后求出直线PD 的解析式，得到点H的坐标，根据（2）中的条件和题意，可以求得△PKE的面积，再根据△OHQ的面积与△PKE的面积相等，可以得到点Q横坐标的绝对值，由点Q在直线AO上即可求得点Q的坐标．

解：（1）①∵在△OAB中，∠OAB＝90°，AB＝AO＝ ，

∴△AOB是等腰直角三角形，OB＝，

∴∠AOB＝∠ABO＝45°，

∴点A的坐标为（6，﹣6），点B的坐标为（12，0），

设直线AB的函数表达式为y＝kx+b，

，得 ，

即直线AB的函数表达式是y＝x﹣12；

②设直线AO的函数表达式为y＝ax，

6a＝﹣6，得a＝﹣1，

即直线AO的函数表达式为y＝﹣x，

（2）点P的坐标为（3，﹣3），

理由：如图：

∵在Rt△CPF中，∠CFP＝90°，∠CFE＝90°，

∴点P、F、E三点共线，

∴PE∥OB，

∵四边形CDEF是正方形，∠OPC＝90°，∠COA＝45°，

∴CF＝PF＝AF＝EF，

∴PE是△OAB的中位线，

∴点P为OA的中点，

∴点P的坐标为（3，﹣3），

故答案为：（3，﹣3）；

（3）如图，

在△PFK和△DCK中，

∴△PFK≌△DCK（AAS），

∴CK＝FK，

则由（2）可知，PE＝6，FK＝1.5，BD=3

∴点D（9，0）

∴△PKE的面积是＝4.5，

∵△OHQ的面积与△PKE的面积相等，

∴△OHQ的面积是4.5，

设直线PD的函数解析式为y＝mx+n

∵点P（3，﹣3），点D（9，0）在直线PD上，

∴，得，

∴直线PD的函数解析式为y＝，

当x＝0时，y＝-，

即点H的坐标为 ，

∴OH＝

设点Q的横坐标为q，

则，

解得，q＝±2，

∵点Q在直线OA上，直线OA的表达式为y＝﹣x，

∴当x＝2时，y＝﹣2，当x＝﹣2时，x＝2，

即点Q的坐标为（2，﹣2）或（﹣2，2），