Question

【题目】如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点M是AB上的一点，点N是CB上的一点．

（1）若3BM=4CN．

①如图1，当CN=时，判断MN与AC的位置关系，并说明理由；

②如图2，连接AN，CM，当∠CAN与△CMB中的一个角相等时，求BM的值．

（2）当MN⊥AB时，将△NMB沿直线MN翻折得到△NMF，点B落在射线BA上的F处，设MB=x，△NMF与△ABC重叠部分的面积为y，求y关于x的函数表达式及x的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①MN∥AC；②BM=4或6；（2）．

【解析】

（1）①结论：MN∥AC．只要证明=即可；

②分两种情形当∠CAN=∠B时，当∠CAN=∠MCB时，分别构建方程求解即可；

（2）分两种情形：①如图3﹣1，当点F在线段AB上时，②如图3﹣2中，当点F在线段BA的延长线上时，分别利用相似三角形的性质根据函数即可；

（1）①在直角三角形ABC中，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10．

∵3BM=4CN，∴=．

∵BM=，∴BN=BC﹣CN=8﹣=，∴====，∴=，∴MN∥AC，②∵∠CMB＞∠CAB＞∠CAN，∴∠CAN≠∠CAB，设CN=3k，BM=4k，当∠CAN=∠B时，可得△CAN∽△CBA，∴=，∴=，∴k=，∴BM=6．

当∠CAN=∠MCB时，如图2中，过点M作MH⊥CB，可得△BMH∽△BAC，∴==，∴==，∴MH=k，BH=k，∴CH=8﹣k．

∵∠CAN=∠MCB，∴tan∠CAN=tan∠MCB．

∵=，∴=，∴k=1或k=0（舍去），∴k=1，∴BM=4．

综上所述：BM=4或6．

（2）如图3﹣1，当点F在线段AB上时．

∵BM=x，△BMN∽△BCA，∴=，∴=，∴MN=x，BN=x，∴y=×x×x=x2（0＜x≤5）；

如图3﹣2中，当点F在线段BA的延长线上时，过点C作CL∥BF交ON的延长线于点L，∴△CLN∽△BFN，∴=．

∵△BMN∽△BCA，∴=，∴=，∴BN=x，CN=8﹣x，∴=，∴CL=﹣﹣2x．

∵△CLO∽△AFO，∴=，∴=，∴CO=﹣2x），∴y=S△ABC﹣S△BMN﹣S△CON=24﹣x2﹣（8﹣x）﹣2x），∴y=﹣x2+x﹣（5＜x≤）．

综上所述： ．