Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠B＝∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E，连接AE.

(1)求证：四边形AECD为平行四边形；

(2)连接CO，求证：CO平分∠BCE.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】试题分析:(1)根据同弧所对的圆周角相等,得∠AEC＝∠B＝∠C,再根据三角形内角和为180°和互补相加为180°,判定AE∥CD,再根据平行四边形的判定证明四边形AECD是平行四边形,(2)根据全等三角形的判定与性质,即可知∠ECO＝∠BCO,从而OC平分∠BCE.

(1)由圆周角定理得∠B＝∠E.∵∠B＝∠D，∴∠E＝∠D.(2分)∵CE∥AD，∴∠D＋∠ECD＝180°，∴∠E＋∠ECD＝180°，∴AE∥CD，∴四边形AECD为平行四边形．

(2)作OM⊥BC于M，ON⊥CE于N.∵四边形AECD为平行四边形，∴AD＝CE.∵AD＝BC，∴CE＝CB.

∵OM⊥BC，ON⊥CE，∴CN＝CM.在Rt△NOC和Rt△MOC中，∴Rt△NOC≌Rt△MOC，∴∠NCO＝∠MCO，∴CO平分∠BCE.