Question

【题目】如图，直线y=x+3与两坐标轴交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点，且交x轴的正半轴于点C．

（1）直接写出A、B两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点P，使得△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（0，3），A（﹣3，0）；（2）抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；顶点D坐标为（﹣1，4）；（3）存在，符合条件的点P的坐标为（﹣1，4）或（2，﹣5）．

【解析】试题分析：（1）分别令x=0和y=0代入y=x+3中可得结论；

（2）利用待定系数法求二次函数的解析式，根据配方法可得顶点D的坐标；

（3）分两种情况：设点P的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3）．根据两点距离公式可得：AB2=32+32=18，AP2=（t+3）2+（﹣t2﹣2t+3）2，BP2=t2+（﹣t2﹣2t）2．

①如图1，如果点B为直角顶点，那么AB2+BP2=AP2；

②如图2，如果点A为直角顶点，那么AP2+AB2=BP2，列方程可得结论．

试题解析：解：（1）当x=0时，y=3，∴B（0，3），当y=0时，x+3=0，x=﹣3，∴A（﹣3，0）；

（2）把A（﹣3，0），B（0，3）分别代入y=﹣x2+bx+c得：

，解得： ，∴抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；

顶点D坐标为（﹣1，4）

（3）存在．

设点P的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3）．

∵A（﹣3，0），B（0，3），∴AB2=32+32=18，AP2=（t+3）2+（﹣t2﹣2t+3）2，BP2=t2+（﹣t2﹣2t）2．

当△PAB是以AB为直角边的直角三角形时，可分两种情况：

①如图1，如果点B为直角顶点，那么AB2+BP2=AP2

（事实这里的点P与点D 重合）

即18+t2+（﹣t2﹣2t）2=（t+3）2+（﹣t2﹣2t+3）2，整理得t2+t=0，解得t1=﹣1，t2=0（不合题意舍去），则点P的坐标为（﹣1，4）；

②如图2，如果点A为直角顶点，那么AP2+AB2=BP2，即18+（t+3）2+（﹣t2﹣2t+3）2=t2+（﹣t2﹣2t）2，整理得t2+t﹣6=0，解得t1=2，t2=﹣3（不合题意舍去），则点P的坐标为（2，﹣5）；

综上所述：所有符合条件的点P的坐标为（﹣1，4）或（2，﹣5）．

另解：如图3，作DE⊥y轴于点E，发现∠ABO=∠DBE=45°

可知顶点D满足△DAB是直角三角形，这时点P的坐标为（﹣1，4）；

作PA⊥AB交抛物线于点P，作PF⊥x轴于点F，发现∠PAF=∠APF=45°，由PF=AF求出另一点P为（2，﹣5）．