Question

【题目】如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC的中点，点E，F分别在直线AB，AC上运动，且始终保持AE=CF．
（1）如图①，若点E，F分别在线段AB，AC上，求证：DE=DF且DE⊥DF；

（2）如图②，若点E、F分别在线段AB，CA的延长线上，（1）中的结论是否依然成立？说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图①，连接AD，

∵∠BAC=90°，AB=AC，D为BC中点，

∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，

∴AD=BD=DC，

在△AED和△CFD中，

，

∴△AED≌△CFD（SAS），

∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，

又∵∠CDF+∠ADF=90°，

∴∠ADE+∠ADF=90°，

∴∠EDF=90°，

∴DE⊥DF

（2）解：若点E，F分别在线段AB，CA的延长线上，（1）中的结论依然成立，如图②，

理由：∵∠BAC=90° AB=AC，D为BC中点

∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，

∴AD=BD=DC，

在△AED和△CFD中，

，

∴△AED≌△CFD（SAS）；

∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，

又∵∠CDF﹣∠ADF=90°，

∴∠ADE﹣∠ADF=90°，

∴∠EDF=90°，

∴DE⊥DF

【解析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=DC，进而证明△AED≌△CFD，利用全等三角形的性质得出DE=DF，∠ADE=∠CDF进而得出△DEF为等腰直角三角形；（2）若点E、F分别在线段AB，CA的延长线上，（1）中的结论依然成立，首先利用已知得出AD=BD=DC，进而利用全等三角形的判定得出△AED≌△CFD．
【考点精析】通过灵活运用等腰直角三角形，掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°即可以解答此题．