Question

如图，点P是正方形ABCD内的一点，AP=1，BP=2，CP=3，BP⊥BP′，BP=BP′
（1）求证：∠APB=∠CP′B，PA=P′C；
（2）求∠APB．

Answer 1

解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，BP⊥BP′，
∴AB=CB，∠ABC=∠PBP′=90°，
∴∠ABC-∠PBC=∠PBP′-∠PBC
即∠ABP=∠CBP′，
又∵BP=BP′，
∴△ABP≌△CBP′，
∴∠APB=∠CP′B，PA=P′C；

（2）连接PP′，
∵BP⊥BP′，BP=BP′=2，
∴∠BP′P=∠BPP′=45°，且P′P=2，
∵P′C=PA=1，PC=3，PP′=2，
∴（PC）²=P′C²+PP′²，满足勾股定理的逆定理，
∴∠PP′C=90°，
∴∠APB=∠CP′B=∠BP′P+∠PP′C=45°+90°=135°．
分析：（1）根据正方形的性质及BP⊥BP′求出△ABP≌△CBP′即可；
（2）连接PP′，由已知条件可求出△BPP′是等腰直角三角形，可知∠BP′P=∠BPP′=45°，根据勾股定理可求出PP′的长，由勾股定理的逆定理可判断出△PCP′的形状，进而可求出∠PP′C及∠APB的度数．
点评：本题涉及到勾股定理、全等三角形的判定定理、勾股定理的逆定理及直角三角形的性质，涉及面较广．但难度适中．