Question

【题目】如图，点A是⊙O直径BD延长线上的一点，C在⊙O上，AC=BC，AD=CD

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为4，求△ABC的面积.

Answer 1

【答案】(1)、证明过程见解析；(2)、12

【解析】

试题分析：(1)、连接OC，根据AC=BC，AD=CD，OB=OC得出∠A=∠B=∠1=∠2，根据BD为直径得出∠BCD=90°，从而说明∠ACO=90°，得出切线；(2)、首先根据题意得出△DCO是等边三角形，根据Rt△BCD的勾股定理得出BC的长度，作CE⊥AB于点E，然后根据Rt△BEC的勾股定理得出CE的长度，然后求出△ABC的面积.

试题解析：(1)、如图，连接OC． ∵AC=BC，AD=CD，OB=OC，∴∠A=∠B=∠1=∠2．

又∵BD是直径， ∴∠BCD=90°，∵∠ACO=∠DCO+∠2， ∴∠ACO=∠DCO+∠1=∠BCD，

∴∠ACO=90°， 又C在⊙O上， ∴AC是⊙O的切线；

(2)、由题意可得△DCO是等腰三角形， ∵∠CDO=∠A+∠2，∠DOC=∠B+∠1，

∴∠CDO=∠DOC，即△DCO是等边三角形． ∴∠A=∠B=∠1=∠2=30°，CD=AD=4，

在直角△BCD中，． 作CE⊥AB于点E．在直角△BEC中，∠B=30°，

∴CE=BC=， ∴S△ABC=ABCE=×12×2=12．